Seja . Dadas as afirmações:
I- Para todo , é inversível.
II- Se e então não é inversível.
III- Se e então .
Podemos dizer que:
A questão requer o conhecimento acerca das propriedades das matrizes e o $\text{Teorema de Binet}$.
$• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$
\begin{matrix} X^2 + 2X &=& X(X + 2I) &=& 0
\end{matrix}
\begin{matrix} \color{gray}{X.X^{-1} =X^{-1}.X = I}
\end{matrix}
Assim,
\begin{matrix} det(X) = 0 \ \text{(Não serve)} &ou& det(X+2I) =0
\end{matrix}
Dessa forma, verificamos que é possível a matriz não ser inversível, isto é, possuir determinante igual a zero.
$• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$
\begin{matrix} X^2= - 2X &\Rightarrow& det(X)^2 = (-2)^2.det(X) &\Rightarrow& det(X) = 4
\end{matrix}
Independente do valor do $det(X + 2I)$, $X$ será inversível. Além disso, explicamos o motivo de $det(X) = 0$ não servir na alternativa anterior.
$• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$
Vide a afirmativa anterior.
\begin{matrix} Letra \ (C)
\end{matrix}
