Seja $C = \{X \in M_{2\times2}\ ;\ X^2+ 2X = 0\}$. Dadas as afirmações:

  • I- Para todo $X \in C$, $(X + 2I)$ é inversível.

  • II- Se $X \in C$ e $\text{det}(X + 2I) \neq 0$ então $X$ não é inversível.

  • III- Se $X \in C$ e $\text{det} X \neq 0$ então $\text{det} X > 0$.

Podemos dizer que:


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ITA IIIT 18/02/2022 20:14
$-$ A questão requer o conhecimento acerca das propriedades das matrizes e o $\text{Teorema de Binet}$. $• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$ \begin{matrix} X^2 + 2X &=& X(X + 2I) &=& 0 \end{matrix} \begin{matrix} \color{gray}{X.X^{-1} =X^{-1}.X = I} \end{matrix} Assim, \begin{matrix} det(X) = 0 \ \text{(Não serve)} &ou& det(X+2I) =0 \end{matrix} Dessa forma, verificamos que é possível a matriz não ser inversível, isto é, possuir determinante igual a zero. $• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ \begin{matrix} X^2= - 2X &\Rightarrow& det(X)^2 = (-2)^2.det(X) &\Rightarrow& det(X) = 4 \end{matrix} Independente do valor do $det(X + 2I)$, $X$ será inversível. Além disso, explicamos o motivo de $det(X) = 0$ não servir na alternativa anterior. $• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ Vide a afirmativa anterior. \begin{matrix} Letra \ (C) \end{matrix}
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