A razão entre as áreas de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência e de um hexágono regular, cuja apótema mede $10\ cm$, circunscrito a esta mesma circunferência é:


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ITA IIIT 23/01/2022 14:10
$-$ A priori, é interessante que se visualize a situação, particularmente, imaginaria duas figuras, uma com um triângulo equilátero inscrito na circunferência, e outra com um hexágono circunscrito, creio que separar em figuraras menos "poluídas" ajude a compreensão. Dessa forma, comecemos pelo triângulo equilátero: $•$ Lei dos senos \begin{matrix} \large { \frac{L}{\sin{60º}} = 2R \ \Rightarrow \ \fbox{$ L = R\sqrt{3}$} } \end{matrix} $•$ Área do triângulo equilátero \begin{matrix} \large{ A_T = \frac{L^2.\sqrt{3}}{4} \ \Rightarrow \ } \large{ \fbox{$A_T = \frac{R^23\sqrt{3}}{4} $} } \end{matrix} $-$ Vejamos agora nosso hexágono regular, não é difícil perceber que o apótema será igual ao raio da circunferência inscrita. Além disso, podemos dividir um hexágono regular em seis triângulos equiláteros, assim, podemos escrever: $•$ Analisando um dos triângulos \begin{matrix} \sin{60º} = \frac{R}{l} \ \Rightarrow \ \fbox{$ l = \frac{2R\sqrt{3}}{3}$} \\ \color{gray}{\text{Note que, o apótema, é a bissetriz (e altura) do triângulo}} \end{matrix} $•$ Área do hexágono regular \begin{matrix} \large{ A_H = 6.\frac{l^2.\sqrt{3}}{4} \ \Rightarrow \ } \ \fbox{$A_H = 2R^2\sqrt{3}$} \end{matrix} $-$ Agora, é só fazer a razão entre as áreas: \begin{matrix} \Large{ \frac{A_T}{A_H} = \frac{\frac{R^23\sqrt{3}}{4}}{ 2R^2\sqrt{3}} } \\ \\ \Large{ \fbox{$\frac{A_T}{A_H} = \frac{3}{8}$}} \\ \\ Letra \ (D) \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ No final, a medida do apótema pouco importa, mas você poderia resolver a questão de outra(s) forma(s). Veja que, o circuncentro do triângulo equilátero inscrito é também o baricentro, ademais, dividindo o hexágono em triângulos equiláteros, é possível fazer uma semelhança entre os dois (o triângulo inscrito com um dos do hexágono). Além de que, pode-se perceber que o apótema equivale a $2/3$ da altura do triângulo equilátero inscrito, e assim prosseguir com diversas formas de resolução.
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