A equação $x = 1,0 \sin(2,0 t)$ expressa a posição de uma partícula em unidades do sistema internacional. Qual seria a forma do gráfico $v$ (velocidade) $\times$ $x$ (posição) desta partícula ?


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ITA IIIT 06/12/2021 22:02
${• \ \text{Solução I:}}$ $\color{royalblue}{\text{Cálculo}}$ \begin{matrix} x = 1. \sin{(2t)} &,& \dot{x} = 2. \cos{(2t)} \end{matrix}Podemos escrever: \begin{matrix} \begin{cases} {\large{\frac{x^2 }{1^2 }}} &=& \sin^2{(2t)} \\ {\large{\frac{\dot{x}^2 }{2^2 }}} &=& \cos^2{(2t)} \end{cases} &\Rightarrow& {\large{\frac{x^2 }{1^2 }}} +{\large{\frac{\dot{x}^2 }{2^2 }}} = \sin^2{(2t)} + \cos^2{(2t)} &\Rightarrow& {\large{\frac{x^2 }{1^2 }}} + {\large{\frac{\dot{x}^2 }{2^2 }}} = 1 &\therefore& \color{}{ (Elipse)} \end{matrix} ${• \ \text{Solução II:}}$ $\color{royalblue}{\text{Sem Cálculo}}$ Vamos tomar a equação dada como de um MHS, assim, sabemos que: \begin{matrix} x = A. \cos{(w.t + \phi)} &,& v = -w.A.\sin{(w.t + \phi)} \end{matrix}Sabendo que:\begin{matrix} \sin{\phi} = \cos{ ({\large{\frac{\pi}{2}}} - \phi )} &\therefore& x = 1,0 . \cos{({\large{\frac{\pi}{2}}}- 2,0.t)} \end{matrix}Com isso, é evidente que: \begin{matrix} A = 1,0 &,& \phi = {\large{\frac{\pi}{2}}} &,& w = -2,0 \end{matrix}Logo: \begin{matrix} x = 1,0 . \cos{({\large{\frac{\pi}{2} }}- 2,0.t)} &,& v = 2,0. \sin{({\large{\frac{\pi}{2}}}- 2,0.t)} \end{matrix}Dessa forma, segue o raciocínio análogo da $text{Solução I}$: \begin{matrix} {\large{\frac{x^2 }{1^2 }}} +{\large{\frac{v^2 }{2^2 }}} = 1 \\ \\ Letra \ (E) \end{matrix}
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