Considere um planeta cuja massa é o triplo da massa da Terra e seu raio, o dobro do raio da Terra. Determine a relação entre a velocidade de escape deste planeta e a da terra $(v_p/v_T)$ e a relação entre a aceleração gravitacional na superfície do planeta e a da Terra $(g_p/g_T)$.


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ITA IIIT 10/12/2021 22:14
A priori, os dados do enunciado: \begin{matrix} M_p = 3.M_T &,& R_p =2.R_T \end{matrix}Velocidade de escape: \begin{matrix} {\large{\frac{m.V^2}{2}}} - {\large{\frac{G.M.m}{R}}} = 0 &\therefore& V = \sqrt{{\large{\frac{2.G.M}{R}}}} \end{matrix}A razão entre as velocidades: \begin{matrix} {\Large{ \frac{v_p}{v_T } }} = {\Large{ \frac{ \sqrt{\frac{2.G.M_p}{R_p} } }{ \sqrt{ \frac{2.G.M_T}{R_T} } }}} = \sqrt{ {\large{ \frac{R_T.M_p}{R_p.M_T} }} } &\therefore& \fbox{$ {\large{\frac{v_p}{v_T}}} = \sqrt{ {\large{ \frac{3}{2} }} } $} \end{matrix}Aceleração gravitacional na superfície de um planeta: \begin{matrix} F_G = F_r &\Rightarrow& {\large{\frac{G.M.m}{R^2}}} = m.g &\therefore& g = \frac{G.M}{R^2} \end{matrix}A razão entre as acelerações gravitacionais:\begin{matrix} {\large{\frac{g_p}{g_t}}} = {\Large{\frac{\frac{G.M_p}{R_p^2}}{\frac{G.M_T}{R_T^2}} }} = {\large{\frac{M_p . R_T^2}{M_T.R_p^2} } } &\therefore& \fbox{$ {\large{\frac{g_p}{g_t} }} = {\large{ \frac{3}{4} }} $} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (B) \end{matrix}
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