Considere as afirmações:

  • I- A equação $3x^4 -10x^3 + 10x - 3 = 0$ só admite raízes reais.

  • II- Toda equação recíproca admite um número par de raízes.

  • III- As raízes da equação $x^3 + 4x^2 - 4x - 16 = 0$.

São exatamente o dobro das raízes de $x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0$ . Então:


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ITA IIIT 14/03/2022 00:42
$• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ Veja que, temos uma equação recíproca de segunda espécie, a qual é perceptível suas raízes $\color{royalblue}{1}$ e $\color{royalblue}{-1}$. Assim, utilizando do algoritmo de $\text{Briot-Ruffini}$, têm-se, respectivamente: \begin{matrix} \begin{array}{c|cccc} 1 & 3 & -10 & 0& 10 & -3 \\ \hline & 3 & -7 & -7& 3 & 0 \end{array} &\Rightarrow& \begin{array}{c|cccc} -1 & 3 & -7& -7 & 3 \\ \hline & 3 & -10 & 3 & 0 \end{array} &\Rightarrow& (x-1).(x+1).(3x^2-10x+3) = 0 \end{matrix} Continuando, \begin{matrix} 3x^2-10x+3 = 0 &\therefore& \color{royalblue}{x = 1/3} &\color{royalblue}{,}& \color{royalblue}{x = 3} \end{matrix} $• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$ Repare na equação que encontramos ao aplicar o algoritmo de $\text{Briot-Ruffini}$ pela primeira vez. \begin{matrix} 3x^3 -7x^2 - 7x + 3 = 0 && \text{(Eq. Recíproca de 1º espécie)} \end{matrix} Ela é recíproca, e possui um número ímpar de raízes. $• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ \begin{matrix} (1): && x^3 \color{gray}{+4x^2} - 4x \color{gray}{+3} &\Rightarrow& x(x^2 - 4) \color{gray}{+4(x^2-4)} &\Rightarrow& (x+4) \ . \ (x^2 - 4) = 0 \\ \\ (2): && x^3 \color{gray}{+2x^2} - x \color{gray}{-2} &\Rightarrow& x(x^2 - 1) \color{gray}{+2(x^2-4)} &\Rightarrow& (x+2) \ . \ (x^2 - 1) = 0 \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (B) \end{matrix}
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