Um triângulo $ABC$ está inscrito num círculo de raio $2 \sqrt{3}$ . Sejam $a$, $b$ e $c$ os lados opostos aos ângulos $A$, $B$ e $C$ respectivamente. Sabendo que $a = 2 \sqrt{3}$ e $(A,B,C)$ é uma progressão aritmética, podemos afirmar que:


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ITA IIIT 22/01/2022 19:58
$-$ Da progressão aritmética dos ângulos, podemos escrever: \begin{matrix} \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180º \\ \Downarrow \\ (\hat{B} - \hat{r}) + \hat{B} + (\hat{B} + \hat{r})= 180º \\ \\ \fbox{$\hat{B} = 60º$} \end{matrix} $-$ Pela lei dos senos: \begin{matrix} \large{ \frac{a}{\sin{\hat{A}}}= \frac{b}{\sin{\hat{B}}} = \frac{c}{\sin{\hat{C}}} = 2R } \end{matrix} Não é difícil encontrar: \begin{matrix} \fbox{$\begin{matrix} b = 6 \\ \hat{A} = 30º \end{matrix}$} \end{matrix} $-$ Encontrando $\hat{C}$: \begin{matrix} 30º + 60º + \hat{C} = 180º \\ \Downarrow \\ \fbox{$\hat{C} = 90º$} \end{matrix} $-$ Novamente, pela lei dos senos: \begin{matrix} c =2R.\sin{\hat{C}} \\ \\ \fbox{$c= 4\sqrt{3}$} \\ \\ Letra (A) \end{matrix}
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