Um triângulo $ABC$ está inscrito num círculo de raio $2 \sqrt{3}$ . Sejam $a$, $b$ e $c$ os lados opostos aos ângulos $A$, $B$ e $C$ respectivamente. Sabendo que $a = 2 \sqrt{3}$ e $(A,B,C)$ é uma progressão aritmética, podemos afirmar que:
Da progressão aritmética dos ângulos, podemos escrever: \begin{matrix} \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180º & \Rightarrow & (\hat{B} - \hat{r}) + \hat{B} + (\hat{B} + \hat{r})= 180º &\therefore& \fbox{$\hat{B} = 60º$}
\end{matrix}Pela lei dos senos: \begin{matrix} { \dfrac{a}{\sin{\hat{A}}}= \dfrac{b}{\sin{\hat{B}}} = \dfrac{c}{\sin{\hat{C}}} = 2R }
\end{matrix}Não é difícil encontrar: \begin{matrix} \fbox{$\begin{matrix} b = 6 &,& \hat{A} = 30º \end{matrix}$}
\end{matrix}Encontrando $\hat{C}$: \begin{matrix} 30º + 60º + \hat{C} = 180º &\therefore& \fbox{$\hat{C} = 90º$} \end{matrix}Novamente, pela lei dos senos: \begin{matrix}
c =2R\cdot \sin{\hat{C}} &\therefore& \fbox{$c= 4\sqrt{3}$}
\end{matrix}\begin{matrix}Letra (A)
\end{matrix}
