Considere o sistema: $$(P) = \begin{cases} x + z + w = 0\\ x + ky + k^2w = 1\\ x + (k+1)z + w =1\\ x + z + kw = 2 \end{cases}$$Podemos afirmar que ($P$) é possível e determinado quando:


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ITA IIIT 18/02/2022 18:52
Reescrevendo o sistema, temos:\begin{matrix} (P) &=& \begin{cases} \begin{array}{c} x &+& 0.y &+& z &+& w &=& 0 \\ x &+& k.y &+& 0.z &+& k^2.w &=& 1 \\ x &+& 0.y &+& (k+1)z &+& w &=& 1 \\ x &+& 0.y &+& z &+& k.w &=& 2 \end{array} \end{cases} \end{matrix}Com conhecimento das $\text{Regras de Cramer}$, podemos escrever: \begin{matrix} \begin{array}{|c | c c c| } 1 && 0 && 1 && 1 \\ \hline 1 && k && 0 && k^2 \\ 1 && 0 && k+1 && 1 \\ 1 && 0 && 1 && k \end{array} &\Rightarrow& \begin{vmatrix} k && -1 && k^2 - 1 \\ 0 && k && 0 \\ 0&& 0 && k-1 \end{vmatrix} &=& k.k.(k-1) &\ne& 0 & \text{(Condição de sistema Determinado)} \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Em primeiro momento apliquei $\text{Chió}$, depois bastou perceber que a matriz é $\text{triangular superior}$, inclusive, nada impede você de aplicar $\text{Sarrus}$ se preferir. Assim, podemos concluir que: \begin{matrix} k \ne 0 &e& k \ne 1 \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (D) \end{matrix}
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