Seja $C = mA + nB$, assim:\begin{matrix} C &=& \begin{bmatrix} 2m & m \\ 3m & 5m \end{bmatrix} &+& \begin{bmatrix} -n & n \\ 0 & n \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} 2m - n& m+n \\ 3m & 5m+n \end{bmatrix} \end{matrix} Para que a matriz seja não inversível, seu determinante deve ser igual a zero, dessa forma:\begin{matrix} det(C) &=& \begin{vmatrix} 2m - n& m+n \\ 3m & 5m+n \end{vmatrix} &=& (2m-n).(5m+n) - (m + n).3m &=& 0 \end{matrix} \begin{matrix} n^2 + 6nm - 7m^2 = 0 \end{matrix}Aplicando a fórmula de Bhaskara em $n$, temos: \begin{matrix} n = -3m \ \pm \ 4m &\Rightarrow& n = - 7m &ou& n = m & \text{(Não serve, vide enunciado)} \end{matrix}Portanto, $n$ e $m$ devem de ter os sinais contrários.\begin{matrix} Letra \ (C) \end{matrix}

Seja $M=m\cdot A+n\cdot B$, então: $M= \begin {pmatrix} 2m & m \\ 3m & 5m \end{pmatrix} + \begin {pmatrix} -n & n \\ 0 & n \end{pmatrix}=\begin {pmatrix} 2m-n & m+n \\ 3m & 5m+n \end{pmatrix}$ Condição para a matriz $M$ ser não invertível: $\det{(M)}=0$ $\det{(M)}=\begin {vmatrix} 2m-n & m+n \\ 3m & 5m+n \end{vmatrix}$ $=7m^{2}-6\cdot m\cdot n - n^{2}=0$ Se segue: $7m^{2}-6m\cdot n - n^{2}=0$. Completando quadrado, temos: $(n^{2}-6\cdot m\cdot n + 9m^{2})-2m^{2}+2n^{2}=0$, temos: $(n-3m)^{2}=2\cdot (m+n)\cdot (m-n)>0$ $m^{2}> n^{2}$ $\implies$ $|m|> |n|$ $\implies$ $|m|>n$ ou $|m|<-n$ Se $m$ é da forma $m=-k\cdot n$, para algum $k$ no intervalo real $]1,\infty+]$, então satisfazem as condições acima: $|-k\cdot n|=k\cdot n>n$, se $n\in \mathbb {R_+}$ $|-k\cdot n|=k\cdot n<-n$, se $n\in \mathbb {R_-}$ E estas condições satisfazem a letra $\mathbb {C}$