Sejam $m$ e $n$ números reais com $m \neq n$ e as matrizes: $$A = \left(\begin{array}{ll} 2 & 1\\ 3 & 5 \end{array}\right)$$$$B = \left(\begin{array}{ll} -1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)$$Para que a matriz $mA + nB$ seja não inversível é necessário que:
Seja $C = mA + nB$, assim:\begin{matrix}
C &=&
\begin{bmatrix} 2m & m \\ 3m & 5m
\end{bmatrix}
&+&
\begin{bmatrix} -n & n \\ 0 & n
\end{bmatrix}
&=&
\begin{bmatrix} 2m - n& m+n \\ 3m & 5m+n
\end{bmatrix}
\end{matrix}
Para que a matriz seja não inversível, seu determinante deve ser igual a zero, dessa forma:\begin{matrix} det(C) &=&
\begin{vmatrix} 2m - n& m+n \\ 3m & 5m+n
\end{vmatrix}
&=&
(2m-n).(5m+n) - (m + n).3m &=& 0
\end{matrix}
\begin{matrix} n^2 + 6nm - 7m^2 = 0
\end{matrix}Aplicando a fórmula de Bhaskara em $n$, temos:
\begin{matrix} n = -3m \ \pm \ 4m &\Rightarrow& n = - 7m &ou& n = m & \text{(Não serve, vide enunciado)}
\end{matrix}Portanto, $n$ e $m$ devem de ter os sinais contrários.\begin{matrix} Letra \ (C)
\end{matrix}
