Sejam $$\mathrm{A}=\sum_{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{n}}\left[\begin{array}{l} \mathrm{n} \\ \mathrm{k} \end{array}\right] \cdot 3^{\mathrm{k}} \;\mathrm{e}\; \mathrm{B}=\sum_{k=0}^{n-1}\left[\begin{array}{c} n-1 \\ k \end{array}\right]\cdot 11^{k}$$Se $\ln B - \ln A = ln \dfrac{6561}{4}$então $n$ é igual a:
A priori essa questão pode assustar um pouco, mas pensando com calma ela é bem direta. Observe que, tanto $A$ quando $B$ lembram bastante um Binômio de Newton:
\begin{matrix} (a + b)^n = \sum^{n}_{k} {n \choose k}. a^{n-k}.b^k
\end{matrix}Desse modo,
\begin{matrix} A = \sum^{n}_{k} {n \choose k}. 3^k = (1 + 3)^n = (4)^n \\ \\ B = \sum^{n-1}_{k} {n-1 \choose k}. 11^k = (1 + 11)^n = (12)^{n-1}
\end{matrix}Analisando a expressão dada, vejamos:
\begin{matrix} \ln B - \ln A = \ln \frac{B}{A} = \ln \frac{6561}{4} &\Rightarrow&
{{\dfrac{B}{A} }}= {{\dfrac{6561}{4} }} &\Rightarrow&
3^{n-1} = 6561
\end{matrix} Continuando, \begin{matrix}
3^8 = 6561
&\Rightarrow&
n-1 = 8 &\therefore & n = 9
\end{matrix} \begin{matrix}
Letra (E)
\end{matrix}
