Sejam $$\mathrm{A}=\sum_{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{n}}\left[\begin{array}{l} \mathrm{n} \\ \mathrm{k} \end{array}\right] \cdot 3^{\mathrm{k}} \;\mathrm{e}\; \mathrm{B}=\sum_{k=0}^{n-1}\left[\begin{array}{c} n-1 \\ k \end{array}\right]\cdot 11^{k}$$Se $\ln B - \ln A = ln \dfrac{6561}{4}$então $n$ é igual a:


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ITA IIIT 21/10/2021 20:30
$-$ A priori essa questão pode assustar um pouco, mas pensando com calma ela é bem direta. Observe que, tanto $A$ quando $B$ lembram bastante um Binômio de Newton: \begin{matrix} (a + b)^n = \sum^{n}_{k} {n \choose k}. a^{n-k}.b^k \end{matrix}Desse modo, \begin{matrix} A = \sum^{n}_{k} {n \choose k}. 3^k = (1 + 3)^n = (4)^n \\ \\ B = \sum^{n-1}_{k} {n-1 \choose k}. 11^k = (1 + 11)^n = (12)^{n-1} \end{matrix}$-$ Analisando a expressão dada, vejamos: \begin{matrix} \ln B - \ln A = \ln \frac{B}{A} = \ln \frac{6561}{4} &\Rightarrow& {\large{\frac{B}{A} }}= {\large{\frac{6561}{4} }} &\Rightarrow& 3^{n-1} = 6561 \end{matrix} Continuando, \begin{matrix} 3^8 = 6561 &\Rightarrow& n-1 = 8 &\therefore & n = 9 \end{matrix} \begin{matrix} Letra (E) \end{matrix}
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