Pela definição da função, podemos escrever:\begin{matrix} y = \dfrac{a^x - \dfrac{1}{a^x}}{2} &\Rightarrow& 2y = a^x - \dfrac{1}{a^x} \end{matrix}Continuando, \begin{matrix} a^{2x} - a^x(2y) -1= 0 &,& \Delta = 4y^2 + 4\end{matrix}Assim, \begin{matrix} a^x = {\dfrac{2y \ \pm \ 2\sqrt{y^2 + 1} }{2}} &\therefore& a^x = y \ \pm \ \sqrt{y^2 + 1} \end{matrix}Visto que $a^x >0$ e $a>1$, segue: \begin{matrix} x = \log_a{(y \ + \ \sqrt{y^2 + 1})} \\ \\ \fbox{$f^{-1}(x) = \log_a{(x\ + \ \sqrt{x^2 + 1})} \ , $ para $x \in \mathbb{R}$ } \\ \\ \\ Letra \ (C) \end{matrix}