Seja S o conjunto de todas as raízes da equação . Podemos afirmar que:


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ITA IIIT 13/03/2022 22:54
$• \ \text{Solução I: Briot-Ruffini}$ Não é difícil perceber que $\color{royalblue}{x_1 = 1/2}$ é raiz, assim, utilizando do algoritmo de $\text{Briot-Ruffini}$, temos: \begin{array}{c|c c c c } 1/2 & 12 & -16 & -3 & 4 \\ \hline & 12 & -10 & -8 & 0 \end{array}Ao reduzir o grau do polinômio, temos: \begin{matrix} 12x^2 - 10x - 8 = 0 &\Rightarrow& \color{royalblue}{x_2 = -1/2} &\color{royalblue}{,}& \color{royalblue}{x_3 = 4/3} \end{matrix}Sobre o conjunto solução, ao analisar as alternativas, encontramos: \begin{matrix} S \subset & \underbrace{] -1 , \ 0 \ [}_{\large{x_2}} &\cup& \underbrace{] 0 \ , \ 1 \ [}_{\large{x_1}} &\cup& \underbrace{] 1 \ , \ 2 \ [}_{\large{x_3}} \end{matrix} $• \ \text{Solução II: Fatoração}$ \begin{matrix} 12x^3 \color{gray}{- 16x^2} - 3x \color{gray}{+4} &\Rightarrow& 3x(4x^2-1) \color{gray}{-4(4x^2 - 1)} &\Rightarrow& (4x^2 - 1) \ .\ (3x-4) = 0 \end{matrix} Assim, \begin{matrix} 4x^2 - 1 = 0 &&,&& 3x-4 = 0 \\ \\ \fbox{$x_{1, 2}= \pm {\dfrac{1}{2}}$} &&&& \fbox{$x_3 = {\dfrac{4}{3}}$} \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (A) \end{matrix}
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Mateus Mondejar 22/08/2023 14:07
Solução alternativa: Por inspeção, verifica-se que $p(-2)<0, p(-1)<0, p(0)>0, p(1)<0, p(2)>0$. Logo, como há sinais invertidos entre $p(-1),p(0)$, $p(0),p(1)$ e $p(1),p(2)$, pelo Teorema de Bolzano, conclui-se que há pelo menos uma raíz real entre tais números. Como o grau do polinômio é três, segue que as três raízes estão compreendidas no intervalo $]-1, 0[ \cup ]0, 1[ \cup ]1, 2[$.
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