Se $a \in \mathbb{R}$ com $a > 0$ e $\arcsin \dfrac{a - 1}{a + 1}$ está no primeiro quadrante, então o valor de $\tan \left[\arcsin \dfrac{a-1}{a+1} + \arctan \dfrac{1}{2\sqrt{a}}\right]$ é:


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ITA IIIT 28/04/2022 16:51
$-$ Seja $x = \arcsin{\frac{a-1}{a+1}}$ , então: \begin{matrix} \sin{x} = \large{\frac{a-1}{a+1}} &,& \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 &\Rightarrow& \cos{x} = \large{\frac{2\sqrt{a}}{a+1}} &\therefore& \tan{x} = \large{\frac{a-1}{2\sqrt{a}}} \end{matrix}Já o valor da expressão solicitada, \begin{matrix} \tan{ [x + \arctan{\frac{1}{2\sqrt{a}}}]} &=& \Large{\frac{ \tan{x} + \frac{1}{2\sqrt{a}}}{1\ - \ \tan{x} . \frac{1}{2\sqrt{a}}}} &=& \Large{\frac{\frac{a-1}{2\sqrt{a}} + \frac{1}{2\sqrt{a}}}{1\ - \ \frac{a-1}{2\sqrt{a}} . \frac{1}{2\sqrt{a}}}} \end{matrix}Portanto,\begin{matrix} \tan{ [\arcsin{\frac{a-1}{a+1}} + \arctan{\frac{1}{2\sqrt{a}}}]} &=& \large{\frac{2a\sqrt{a}}{3a+1}} \end{matrix}\begin{matrix} Letra \ (C) \end{matrix}
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