Seja $x = \arcsin{\dfrac{a-1}{a+1}}$ , então: \begin{matrix} \sin{x} = {\dfrac{a-1}{a+1}} &,& \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 &\Rightarrow& \cos{x} = {\dfrac{2\sqrt{a}}{a+1}} &\therefore& \tan{x} = {\dfrac{a-1}{2\sqrt{a}}} \end{matrix}Já o valor da expressão solicitada, \begin{matrix} \tan{ \left[x + \arctan{\dfrac{1}{2\sqrt{a}}}\right]} &=&{\dfrac{ \tan{x} + \dfrac{1}{2\sqrt{a}}}{1\ - \ \tan{x} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{a}}}} &=& {\dfrac{\dfrac{a-1}{2\sqrt{a}} + \dfrac{1}{2\sqrt{a}}}{1\ - \ \dfrac{a-1}{2\sqrt{a}} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{a}}}} \end{matrix}Portanto,\begin{matrix} \tan{ \left[\arcsin{\dfrac{a-1}{a+1}} + \arctan{\dfrac{1}{2\sqrt{a}}} \right]} &=& {\dfrac{2a\sqrt{a}}{3a+1}} \end{matrix}\begin{matrix} Letra \ (C) \end{matrix}

Faça $\arcsin(\frac{a-1}{a+1}) = \theta \implies \sin(\theta) = \dfrac{a-1}{a+1}$ e $\arctan(\frac{1}{2\sqrt{a}}) = \alpha \implies \tan(\alpha) = \dfrac{1}{2\sqrt{a}} $ , dessa forma temos que $\tan[\arcsin(\frac{a-1}{a+1}) +\arctan(\frac{1}{2\sqrt{a}}) ]$ $ = \tan(\theta + \alpha) = \dfrac{\tan(\theta) + \tan(\alpha)}{1 - \tan(\theta)\tan(\alpha)} $ Agora iremos encontrar o valor de $\cos(\theta)$ para encontrar o valor de $\tan(\theta) $. $\cos(\theta) = \pm \sqrt{1 - \sin^2(\theta)}$ , como $\theta$ está no primeiro quadrante temos que $\cos(\theta) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{a-1}{a+1}\right)^2} $ $ = \sqrt{\dfrac{4a}{(a+1)^2}} = \cos(\theta) = \dfrac{2\sqrt{a}}{a + 1}$ $\therefore$ $\tan(\theta) = \dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \dfrac{\dfrac{a-1}{a+1}}{\dfrac{2\sqrt{a}}{a + 1}} = \tan(\theta) = \dfrac{a-1}{2\sqrt{a}} $ Substituindo os valores encontrados para $\tan(\theta)$ e $\tan(\alpha)$ em $\tan(\theta + \alpha) = \dfrac{\tan(\theta) + \tan(\alpha)}{1 - \tan(\theta)\tan(\alpha)}$ encontraremos a seguinte relação : $\tan(\theta + \alpha) = \dfrac{\tan(\theta) + \tan(\alpha)}{1 - \tan(\theta)\tan(\alpha)} = \dfrac{\dfrac{a-1}{2\sqrt{a}} + \dfrac{1}{2\sqrt{a}} }{1 - (\dfrac{a-1}{2\sqrt{a}})(\dfrac{1}{2\sqrt{a}})}$ $ = \dfrac{\dfrac{a}{2\sqrt{a}} }{1 - (\dfrac{a-1}{4a})} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{a}}{2} }{\dfrac{3a +1}{4a}}$ $ = \boxed{\tan[\arcsin(\frac{a-1}{a+1}) +\arctan(\frac{1}{2\sqrt{a}}) ] = \dfrac{2a\sqrt{a}}{3a + 1}} $ $\textbf{Resposta: Letra C}$