Uma escola possui $18$ professores sendo $7$ de Matemática, $3$ de Física e $4$ de Química. De quantas maneiras podemos formar comissões de $12$ professores de modo que cada uma contenha exatamente $5$ professores de Matemática, com no mínimo $2$ de Física e no máximo $2$ de Química ?


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ITA IIIT 18/11/2021 17:11
$-$ Segundo enunciado, temos: \begin{matrix} 18P & \Rightarrow & 7M-3F-4Q-4X \end{matrix}$\color{orangered}{Obs:}$ $X$: Demais professores não listados. $-$ Agora, é interessante dividir em partes, perceba que podemos ter no máximo 2 professores de química, um bom fator para começar a particularizar, vejamos: $1º \ Caso:$ Apenas um professor de Química $2º \ Caso:$ Apenas dois professores de Química $3º \ Caso:$ Nenhum professor de Química $-$ Note que, em cada caso ainda temos uma variável importante; os professores de Física. Portanto, para cada situação teremos que particularizar os professores de física também, veja: $1º \ Caso:$ Apenas um professor de Química \begin{matrix} (1): \ \text{Dois de Física} &,& (2): \text{Três de Física} \end{matrix} $2º \ Caso:$ Apenas dois professores de Química \begin{matrix} (1): \ \text{Dois de Física} &,& (2): \text{Três de Física} \end{matrix} $3º \ Caso:$ Nenhum professor de Química \begin{matrix} (1): \ \text{Três de Física} \end{matrix} $-$ Utilizando os conceitos de combinatória, temos: $1º \ Caso:$ \begin{matrix} (1): \ \ \ C_{7}^{5}.C_{4}^{1}.C_{3}^{2}.C_{4}^{4} = 252 \\ \\ (2): \ \ \ C_{7}^{5}.C_{4}^{1}.C_{3}^{3}.C_{4}^{3}= 336 \end{matrix} $2º \ Caso:$ \begin{matrix} (1): \ \ \ C_{7}^{5}.C_{4}^{2}.C_{3}^{2}.C_{4}^{3} = 1512 \\ \\ (2): \ \ \ C_{7}^{5}.C_{4}^{2}.C_{3}^{3}.C_{4}^{2}= \ 756 \end{matrix} $3º \ Caso:$ \begin{matrix} (1): \ \ \ C_{7}^{5}.C_{4}^{0}.C_{3}^{3}.C_{4}^{4} = \ \ 21 \end{matrix} Dessa forma, temos: \begin{matrix} 252 + 336 + 1512 + 756 + 21 = 2877 \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (D) \end{matrix}
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