Para se determinar a massa específica de um material fez-se um cilindro de $10{,}0\ cm$ de altura desse material flutuar dentro do mercúrio mantendo o seu eixo perpendicular à superfície do líquido. Posto a oscilar verticalmente verificou-se que o seu período era de $0{,}60\ s$. Qual é o valor da massa específica do material? Sabe-se que a massa específica do mercúrio é de $1{,}36 \times 10^4\ kg/m^3$ e que aceleração da gravidade local é de $10{,}0\ m/s^2$.


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Nicholas Admin 27/12/2021 18:51
O cilindro parcialmente imerso no mercúrio está sob ação de apenas duas forças: Peso e Empuxo. O enunciado menciona uma oscilação do cilindro, mas o comportamento dessa oscilação pode não estar claro - uma vez que não se trata de um sistema que já conhecemos, como o pêndulo simples ou um sistema massa-mola. Então, a estratégia neste caso é exprimir o comportamento do sistema conforme a $\textbf{equação característica do MHS}$, para que assim seja possível determinar o período das oscilações, equações horárias, etc. A equação característica de um movimento harmônico simples é $\boxed{ma = -kx}$, que remete à Lei de Hooke. Ela descreve uma força restauradora com dependência linear do deslocamento $x$ do corpo em relação à sua posição de equilíbrio. Dessa forma, todo MHS é (em aproximação) análogo ao sistema-massa mola. Portanto, com a segunda Lei de Newton, conseguimos enunciar que $F_r = E - P = m\cdot a$. Vamos agora desenvolver essa equação para adequá-la à equação do MHS! Admitindo que a densidade do cilindro é $\rho$, a densidade do mercúrio é $\rho_{\ce{Hg}}$, a área da base do cilindro é igual a $S$ e que a altura da parte submersa do cilindro é igual a $h$:$$\overbrace{\rho_{\ce{Hg}}g(S\cdot h)}^{E} - \overbrace{\rho g(S\cdot 10\,cm)}^{P} = ma$$Rearranjando:$$ma = -\underbrace{\rho_{\ce{Hg}}\cdot g S}_{k}\times \Big(\underbrace{0{,}1\frac{\rho}{\rho_{\ce{Hg}}} -h}_{x}\Big)$$ Note que $x$ corresponde ao $h$, porém deslocado $0{,}1\frac{\rho}{\rho_{\ce{Hg}}}$ unidades - que corresponde justamente à posição de equilíbrio do MHS! Isto é, quando o deslocamento $x$ é nulo, a altura $h$ do cilindro que é submersa no mercúrio deve ser igual a $0{,}1\frac{\rho}{\rho_{\ce{Hg}}}$. Identificada então a constante $k$, recorremos à equação do período do MHS - que conforme dado pelo enunciado - é igual a $0{,}60$ segundos.$$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=0{,}60$$$$2\pi\sqrt{\frac{\rho S\cdot 0{,}1}{gS\rho_{\ce{Hg}}}}=0{,}60$$$$\rho = \frac{0{,}36}{4\pi^2}\cdot\frac{g\cdot\rho_{\ce{Hg}}}{0{,}1}$$Fazendo a clássica simplificação $\pi^2 = g$ e substituindo $\rho_{\ce{Hg}}=1{,}36\times 10^4 kg/m^3$:$$\boxed{\rho=1{,}24\times 10^4\ kg/m^3}\text{ - Gab. B)}$$
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