Em determinadas circunstâncias verifica-se que a velocidade, $V$, das ondas na superfície de um líquido depende da massa específica, $\rho$, e da tensão superficial, $\tau$ , do líquido bem como do comprimento de onda, $\lambda$, das ondas. Neste caso, admitindo-se que $C$ é uma constante adimensional, pode-se afirmar que:


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Nicholas Admin 07/10/2021 01:59
De modo geral, no ensino médio não é estudado o movimento de ondas em três dimensões. Não conhecendo a equação correta e estando diante das alternativas do problema, podemos recorrer à análise dimensional - isto é - eliminar as equações cujas unidades físicas do membro direito sejam diferentes das unidades físicas do membro esquerdo. A questão nos apresenta 4 variáveis: - a velocidade $V$, de unidade SI $m/s$; - a massa específica $\rho$, de unidade SI $kg/m^3$; - a tensão superficial $\tau$, de unidade SI $N/m$; - e o comprimento de onda $\lambda$, de unidade SI $m$. Além disso, existe uma constante $C$, adimensional. Vale lembrar que recorremos à representação das unidades no sistema internacional (SI) para simplificar nossa análise. Resolver com outro padrão não seria errado. O importante é que todas as variáveis estejam no mesmo padrão. Agora que definimos as unidades envolvidas, analisamos cada alternativa: a) CORRETO ✔ $$V=C\cdot[\tau/(\rho\lambda)]^{1/2} \Rightarrow \left[\dfrac{m}{s}\right]=\left(\dfrac{\left[\dfrac{N}{m}\right]}{\left[\dfrac{kg}{m^3}\right]\left[m\right]}\right)^{1/2} \Rightarrow \left[\dfrac{m}{s}\right]=\left[\dfrac{N\cdot m}{kg}\right]^{1/2} \Rightarrow \left[\dfrac{m}{s}\right]=\left[\dfrac{\dfrac{kg\cdot m}{s^2}\cdot m}{kg}\right]^{1/2}\Rightarrow\left[\dfrac{m}{s}\right]=\left[\dfrac{m^2}{s^2}\right]^{1/2}\Rightarrow\boxed{\left[\dfrac{m}{s}\right]=\left[\dfrac{m}{s}\right]}$$ b) ERRADO $$V=C\tau\rho\lambda \Rightarrow \left[\dfrac{m}{s}\right]=\left[\dfrac{N}{m}\right]\left[\dfrac{kg}{m^3}\right]\left[m\right]\Rightarrow \left[\dfrac{m}{s}\right] \neq \left[\dfrac{N\cdot kg}{m^3}\right]$$ c) ERRADO $$V=C(\tau\rho\lambda)^{1/2}\Rightarrow \left[\dfrac{m}{s}\right]=\left(\left[\dfrac{N}{m}\right]\left[\dfrac{kg}{m^3}\right][m]\right)^{1/2}\Rightarrow \left[\dfrac{m}{s}\right]\neq\left[\dfrac{N\cdot kg}{m^3}\right]^{1/2}$$ d) ERRADO $$V=(C\rho\lambda^2)/\tau \Rightarrow \left[\dfrac{m}{s}\right]=\dfrac{\left[\dfrac{kg}{m^3}\right][m]^2}{\left[\dfrac{N}{m}\right]}\Rightarrow \left[\dfrac{m}{s}\right]\neq \left[\dfrac{kg}{N}\right]$$ e) A velocidade é dada por uma expressão diferente das mencionadas - ERRADO COM RESSALVAS Note que a análise dimensional não é uma dedução formal, por isso não podemos tomá-la como demonstração para a equação da velocidade da onda descrita no enunciado. No entanto, no contexto de prova, determinar que a alternativa A) se adequa às dimensões da velocidade é suficiente para uma resolução via análise dimensional. Em primeira observação, já poderíamos suspeitar da alternativa A), uma vez que ela é muito semelhante à equação que conhecemos para velocidade de uma onda em uma corda tensionada: a fórmula de Taylor $V=\sqrt{\frac{T}{\mu}}$ (note: $\text{velocidade}=\left[\frac{\text{tensão}}{\text{densidade}}\right]^{1/2}$). A alternativa A) seria a principal candidata para uma "equação de Taylor" para um meio oscilante com uma dimensão a mais. Bons estudos!
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Gabriel Rodrigues 02/09/2022 12:51
Solução 2: Outra solução, seria "deduzir" a equação por meio da análise dimensional. O ITA foi muito generoso e nos informou qual a dependência de cada uma das variáveis da equação. A ideia que irei apresentar se baseia em igualdade, o que está do lado direito da equação deve ser igual o que está do lado esquerdo. Variáveis apresentadas: $1)$ $V$ a velocidade dado em $\frac{L}{T} = LT^{-1}$ (L em análise dimensional é o mesmo que o comprimento chamado de length e T é o tempo, ou seja, time) $2)$ $\rho$ a massa específica dada em $\frac{M}{L^{3}} = ML^{-3}$ (sendo M a massa) $3)$ $\tau$ a tensão superficial dada em $\frac{N}{L} = NL^{-1} = MT^{-2}$ $4)$ $\lambda$ o comprimento de onda dado em $L$. Perceba que eu tenho todas essas variáveis, mas eu não sei qual o expoente de cada um, portanto irei elevar a qualquer letra. $$V = \rho^{\alpha} \cdot \tau^{\beta} \cdot \lambda^{\gamma}$$ $$LT^{-1} = (ML^{-3})^{\alpha} \cdot (MT^{-2})^{\beta} \cdot L^{\gamma}$$ Agora basta resolver a simples equação. $$T^{-2\beta} = T^{-1} \rightarrow \beta = \frac{1}{2}$$ $$M^{\alpha + \beta} = M^{0} \rightarrow \alpha = -\frac{1}{2}$$ $$L^{-3\alpha + \gamma} = L^{1} \rightarrow \gamma= -\frac{1}{2}$$ Por fim, arrume a equação: $$V = C \cdot [\tau/(\rho \lambda)]^{\frac{1}{2}}$$ $Nota$: Caso queira saber um pouco mais sobre o assunto, procure no YouTube o seguinte vídeo "Aula 2.4 - Determinação da frequência do pêndulo simples por análise dimensional", veja a aula 2.3 de introdução e 2.4 que ensina a fazer as contas.
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