Uma pequena esfera penetra com velocidade em um tubo oco, recurvado, colocado num plano vertical, como mostra a figura, num local onde a aceleração da gravidade é . Supondo que a esfera percorra a região interior ao tubo sem atrito e acabe saindo horizontalmente pela extremidade, pergunta-se: que distância, , horizontal, ela percorrerá até tocar o solo?


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ITA IIIT 20/06/2022 22:48
Admitindo um sistema conservativo, denotemos o módulo da velocidade com que a esfera sai do tubo de $u$, assim, têm-se: \begin{matrix} \Delta E_M = 0 &\Rightarrow& mg(2R) + {\large{\frac{mu^2}{2}}} - mg({\large{\frac{3R}{2}}}) - {\large{\frac{mv^2}{2}}} = 0 &\therefore& u = \sqrt{v^2 + gR} \end{matrix}No momento em que a esfera sai do tubo ela cai num movimento retilíneo uniformemente acelerado, conhecida sua lei horária, podemos descobrir seu tempo de queda, veja: \begin{matrix} \Delta y =u_y \Delta t + a {\large{\frac{\Delta t^2}{2}}} &,& a = -g &\wedge& u_y = 0 &\wedge& \Delta y = - {\large{\frac{3R}{2}}} &\therefore& \Delta t = \sqrt{{\large{\frac{3R}{g}}}} \end{matrix}Conhecido o tempo de queda, e sabido que a esfera realiza um movimento uniforme na horizontal, a distância que ela percorrerá até atingir o solo será:\begin{matrix} x = u_x \Delta t &,& u_x = u &\therefore& x = \sqrt{{\large{\frac{3R}{g}}} (v^2 + gR)} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}\begin{matrix} Letra \ (D) \end{matrix}
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