Sejam e constantes reais positivas. Considere e onde Então uma relação entre e é dada por:


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ITA IIIT 09/07/2022 21:08
Pelo intervalo de $t$ e, com conhecimento que tanto $a$ quando $b$ são constantes reais e positivas, não é difícil dizer que $x \ge 1$. Nessa perspectiva, podemos analisar $y$ agora, veja: \begin{matrix} y^2 = b^2(\sec^2{t} - 1) &\Rightarrow& y^2 = b^2\tan^2{t} &\because& \tan^2{t}+1 = \sec^2{t} \end{matrix}Isolando $\tan{t}$ em $x$, têm-se:\begin{matrix} \tan{t} = \dfrac{(x-1)}{a^2} &\Rightarrow& y^2 = b^2 \left[ \dfrac{(x-1)}{a^2} \right]^2&\Rightarrow& y = \pm \dfrac{b}{a^2} |x-1| &\therefore&y = \pm \dfrac{b}{a^2} (x-1) \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (D) \end{matrix}$\color{orangered}{Obs:}$ Lembre-se que $x\ge 1$
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Artur Gilson 09/03/2024 11:24
Como $0 \leq t < \frac{\pi}{2}$ e $a^2 > 0$ , então $a^2\tg(t) \geq 0$ , implicando dizer que $x \geq 1$. Manipulando a duas equações podemos encontrar as seguintes relações : $x = a^2\tg(t) + 1 \implies x - 1 = a^2\tg(t) \implies \boxed{\tg(t) = \dfrac{x - 1}{a^2} , x\geq 1} $ $y^2 = b^2 \sec^2(t) - b^2 = b^2(\sec^2(t) - 1) = y^2 = b^2 \tg^2(t)$ $\implies y = \pm b\tg(t) = \boxed{y = \pm \dfrac{b}{a^2}(x - 1) , x \geq 1}$ Portanto uma das relações entre $x$ e $y$ é $y = -\dfrac{b}{a^2}(x - 1) , x \geq 1$. $\textbf{Resposta : Letra D}$
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