Dadas as funções $$f(x) = \dfrac{1 + e^x}{1 - e^x}, X \in \mathbb{R} - \{0\}$$$$g(x) = x \sin x, x\in \mathbb{R}$$podemos afirmar que:


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ITA IIIT 29/12/2021 00:44
$-$ A priori, podemos definir funções pares e ímpares, assim: $•$ Se $h: X \rightarrow Y$ é uma função par \begin{matrix} \forall \ x \in X \ , \ f(x) = f(-x) \end{matrix} $•$ Se $h: X \rightarrow Y$ é uma função ímpar \begin{matrix} \forall \ x \in X \ , \ f(x) = -f(-x) \end{matrix} $-$ Dessa forma, podemos analisar a paridade de cada função, vamos supor que elas sejam pares: $•$ Se $f$ é uma função par \begin{matrix} \LARGE{\frac{1 + e^x}{1-e^x} = \frac{1 + \frac{1}{e^x}}{1- \frac{1}{e^x}} } \\ \\ (e^x + 1).(e^x - 1)= (1 + e^x).(1- e^x) \\ \\ e^x - 1= 1- e^x \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Note que, o enunciado deixa claro que $x \ne 0$ \begin{matrix} e^x = 1 \end{matrix} Além de ser um absurdo, claramente não é par, o que é suficiente dizer que $f$ é $ímpar$. $•$ Se $g$ é uma função par \begin{matrix} x.\sin{x} = (-x).\sin{(-x)} \end{matrix} Nesse momento, você precisa saber que a função seno é ímpar, isto é, $ \sin{(-x)} = -\sin{x}$, isso é facilmente justificado analisando o círculo trigonométrico. Portanto, $g$ é uma função $par$. \begin{matrix} Letra \ (C) \end{matrix}
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