Sabendo-se que $3x - 1$ é fator de $12x^3 - 19x^2 + 8x - 1$ então as soluções reais da equação $12(3^{3x}) - 19(3^{2x}) + 8(3^x) - 1 = 0$ somam:


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ITA IIIT 22/10/2021 20:31
Seja $3^x = z$, então:\begin{matrix} 12z^3 - 19z^2 + 8z - 1 = 0\end{matrix} Observando-se a equação, é possível ver que $z_1 = 1$ é uma raíz, logo, utilizando-se do sistema de $Briot-Ruffini$, temos:\begin{matrix} 12z^2 - 7z + 1 = 0\end{matrix}$ \color{orangered}{Obs:}$ Se você não entendeu esse passo, recomendo procurar sobre o "Dispositivo de Briot-Ruffini", além disso, o "Teorema das Raízes Racionais", ambos irão auxiliar a compreensão. Ao resolver a equação de segundo grau, encontramos:\begin{matrix} z_2 = \dfrac{1}{3} \ \ \ e \ \ \ z_3 = \dfrac{1}{4} \end{matrix} Agora basta analisar os resultados para $3^x = z_1$: \begin{matrix} 3^x = 1 &\Rightarrow & x = 0\end{matrix}Para $3^x = z_2$: \begin{matrix} 3^x = \dfrac{1}{3} &\Rightarrow & x = -1\end{matrix}Para $3^x = z_3$: \begin{matrix} 3^x = \dfrac{1}{4} &\Rightarrow & x = \log_3{\frac{1}{4}} = -\log_3{4} \\\end{matrix}$\color{orangered}{Nota:}$ \begin{matrix} \log{a^{-2}} = -2.\log{a} \\ \log{a} + 1 = \log{a} + \log{10} = \log{10.a}\end{matrix} Pronto, é só somar os resultados:\begin{matrix} z_1 + z_2 + z_3 = 0 + (-\log_3{4}) + (-1) = - \log_3{4.3} = - \log_3{12} \\ \\ Letra \ (A)\end{matrix}
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Prof Augusto
01:05 23/10/2021
Pequeno erro de digitação na segunda linha: em vez de 9z, seria 8z.
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ITA IIIT
02:53 23/10/2021
Novamente, perdoe-me! Acabou passando despercebido por mim...
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Prof Nicholas
10:22 23/10/2021
Já corrigimos aqui, ITA IIIT! Em breve vamos disponibilizar a edição de resoluções e comentários para evitar esses contratempos, fique ligado. Bons estudos!
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