Sejam os números reais $\alpha$ e $x$ onde $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ $x \neq 0$. Se no desenvolvimento de $\left((\cos \alpha)x + (\sin \alpha)\dfrac{1}{x}\right)^8$ o termo independente de $x$ vale $\dfrac{35}{8}$, então o valor de $\alpha$ é:


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ITA IIIT 21/10/2021 20:00
$-$ Essa questão é basicamente aplicação de fórmula, no caso, a aplicação do $Termo \ Geral \ do \ Binômio \ de \ Newton$ $•$ Fórmula do termo geral: \begin{matrix} (a + b)^n &\rightarrow& Termo \ Geral \ (T_{k+1}) = {n \choose k}. a^{n-k}.b^{k} \end{matrix}$•$ Como queremos o termo independente, deve-se fazer o fator $x$ ser unitário, vejamos: \begin{matrix} (\cos{\alpha}.x +\sin{\alpha}.\frac{1}{x})^8 &\Rightarrow& \ T_{k+1} = {8\choose k}. (\cos{\alpha}.x)^{8-k}.(\sin{\alpha}.\frac{1}{x})^{k} \end{matrix} \begin{matrix} T_{k+1} = {8\choose k}. (\cos{\alpha})^{8-k}.(\sin{\alpha})^k.x^{8-2k} &\Rightarrow& 8-2k = 0 &\therefore & \fbox{$k = 4$} \end{matrix} \begin{matrix} T_5 &=& \frac{35}{8} &= &\frac{70}{16} & =& {8\choose 4}. (\cos{\alpha})^{4}.(\sin{\alpha})^4 &=& 70. (\cos{\alpha})^{4}.(\sin{\alpha})^4 &\therefore& 2. \cos{\alpha}.\sin{\alpha} = 1 &\Rightarrow& \sin{2\alpha} = 1 \end{matrix} \begin{matrix} 2.\alpha = \frac{\pi}{2} &\therefore& \alpha = \frac{\pi}{4} \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (D) \end{matrix}
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