Numa progressão geométrica de três termos a razão é $e^{-2a}$ , a soma dos termos é $7$ enquanto que a diferença do último termo com o primeiro é $3$. Nestas condições o valor de $a$ é:


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ITA IIIT 26/10/2021 21:16
Sejam os termos $a_1,a_2,a_3$ que formem essa P.G, e $q$ a razão, temos: • Soma de todos os termos: \begin{matrix} a_1+a_2+a_3 = 7 &\Rightarrow& a_1.( 1+ q + q^2) =7 \ \ \ \color{royalblue}{(1)} \end{matrix} • Diferença entre o último termo com o primeiro: \begin{matrix} a_3 - a_1= 3 &\Rightarrow& a_1.(q^2-1) =3 \ \ \ \color{royalblue}{(2)} \end{matrix} • Dividindo $(1)$ por $(2)$: \begin{matrix} \dfrac{ a_1.( 1+ q + q^2) }{a_1.(q^2-1)} = \dfrac{7}{3} \\ \\ 4.q^2 -3.q - 10 =0 \\ \\ q_1 = 2 \ \ \ \ e \ \ \ \ q_2 = - \dfrac{5}{4} \end{matrix} Note que, $q = e^{-2a} \ge 0$, o que faz $q_2$ não servir. \begin{matrix} 2 = e^{-2a} &\Rightarrow& \ln{2} = -2.a &\Rightarrow& \fbox{$a = - \ln{\sqrt{2}}$} \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (D) \end{matrix}
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