Considere a reta ($r$) mediatriz do segmento cujos extremos são os pontos em que a reta $2x - 3y + 7 = 0$ intercepta os eixos coordenados. Então a distância do ponto $\left(\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{6}\right)$à reta ($r$) é:


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ITA IIIT 01/04/2022 00:01
$• \ \text{Resolução I:}$ A partir da reta do enunciado, fazendo $x=0$ e $y=0$ encontramos, respectivamente, os pontos: \begin{matrix} A = \left(0 \ , \ \dfrac{7}{3}\right) &,& B = \left(- \dfrac{7}{2} \ , \ 0 \right) \end{matrix} $\color{#3368b8}{\text{Nota:}}$ Você poderia encontrá-los manipulando a expressão da reta até encontrar a segmentária. A reta mediatriz divide perpendicularmente o segmento de reta em duas porções idênticas, isto é, ela divide o segmento de reta ao meio perpendicularmente. Nessa perspectiva, em busca do ponto médio $(P)$ do segmento, temos: \begin{matrix} P = \left(\dfrac{0 - 7/2}{2} \ , \ \dfrac{ 7/3 + 0}{2} \right) &\Rightarrow& P = \left(-\dfrac{7}{4} \ , \ \dfrac{7}{6} \right) \end{matrix}Como dito anteriormente, a mediatriz é perpendicular ao segmento de reta, assim, sabido o coeficiente angular da reta do enunciado $(m = 2/3)$, têm-se: \begin{matrix} m \cdot m_r = -1 &\Rightarrow& m_r = -\dfrac{3}{2} \end{matrix}Agora, com conhecimento do coeficiente angular da reta $(m_r)$ e um ponto $(P)$, podemos encontrar a equação da reta mediatriz como:\begin{matrix} m_r = {\dfrac{(y -7/6 )}{(x + 7/4)}} &\Rightarrow& \fbox{$r: \ 3x + 2y + \dfrac{35}{12} = 0$} \end{matrix}Por fim, aplicando a distância entre um ponto e uma reta, finalizamos com a distância $(d)$: \begin{matrix} d = {\dfrac{\bigg|3\cdot \left(\dfrac{1}{4} \right) + 2\cdot \left(\dfrac{1}{6}\right) + \dfrac{35}{12}\bigg|}{\sqrt{3^2 + 2^2}}} &\Rightarrow& \fbox{$ d = {\dfrac{4}{\sqrt{13}}}$} \end{matrix} $• \ \text{Resolução II:}$ Com conhecimento dos pontos que interceptam os eixos, e sabido as propriedades da reta mediatriz, é possível simplesmente aplicar a distância entre dois pontos entre o ponto médio $(x \ , \ y)$ e seus respectivos pontos extremos. Atente que, a distância será a mesma nos dois casos, sendo válido escrever: \begin{matrix} (x - 0)^2 + \left(y - \dfrac{7}{3} \right)^2 = \left(x + \dfrac{7}{2}\right)^2 + (y - 0)^2 \\ \Downarrow \\ \fbox{$r: \ 3x + 2y + \dfrac{35}{12} = 0$} \end{matrix} A partir daqui o raciocínio é o mesmo que o anterior, \begin{matrix} Letra \ (B) \end{matrix}
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