Considere a reta ($r$) mediatriz do segmento cujos extremos são os pontos em que a reta $2x - 3y + 7 = 0$ intercepta os eixos coordenados. Então a distância do ponto $\left(\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{6}\right)$à reta ($r$) é:


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ITA IIIT 01/04/2022 00:01
$• \ \text{Resolução I:}$ $-$ A partir da reta do enunciado, fazendo $x=0$ e $y=0$ encontramos, respectivamente, os pontos: \begin{matrix} A = (0 \ , \ \frac{7}{3}) &,& B = (- \frac{7}{2} \ , \ 0) \end{matrix} $\color{orangered}{Nota:}$ Você poderia encontrá-los manipulando a expressão da reta até encontrar a segmentária. $-$ A reta mediatriz divide perpendicularmente o segmento de reta em duas porções idênticas, isto é, ela divide o segmento de reta ao meio perpendicularmente. Nessa perspectiva, em busca do ponto médio $(P)$ do segmento, temos: \begin{matrix} P = (\frac{0 - 7/2}{2} \ , \ \frac{ 7/3 + 0}{2} ) &\Rightarrow& P = (-\frac{7}{4} \ , \ \frac{7}{6}) \end{matrix} $-$ Como dito anteriormente, a mediatriz é perpendicular ao segmento de reta, assim, sabido o coeficiente angular da reta do enunciado $(m = 2/3)$, têm-se: \begin{matrix} m \ . \ m_r = -1 &\Rightarrow& m_r = -3/2 \end{matrix} $-$ Agora, com conhecimento do coeficiente angular da reta $(m_r)$ e um ponto $(P)$, podemos encontrar a equação da reta mediatriz como: \begin{matrix} m_r = \large{\frac{(y -7/6 )}{(x + 7/4)}} &\Rightarrow& \fbox{$r: \ 3x + 2y + \frac{35}{12} = 0$} \end{matrix} $-$ Por fim, aplicando a distância entre um ponto e uma reta, finalizamos com a distância $(d)$: \begin{matrix} d = \large{\frac{|3.(\frac{1}{4}) + 2.(\frac{1}{6}) + \frac{35}{12}|}{\sqrt{3^2 + 2^2}}} &\Rightarrow& \fbox{$ d = \large{\frac{4}{\sqrt{13}}}$} \end{matrix} $• \ \text{Resolução II:}$ $-$ Com conhecimento dos pontos que interceptam os eixos, e sabido as propriedades da reta mediatriz, é possível simplesmente aplicar a distância entre dois pontos entre o ponto médio $(x \ , \ y)$ e seus respectivos pontos extremos. Atente que, a distância será a mesma nos dois casos, sendo válido escrever: \begin{matrix} (x - 0)^2 + (y - \frac{7}{3})^2 = (x + \frac{7}{2})^2 + (y - 0)^2 \\ \Downarrow \\ \fbox{$r: \ 3x + 2y + \frac{35}{12} = 0$} \end{matrix} A partir daqui o raciocínio é o mesmo que o anterior, \begin{matrix} Letra \ (B) \end{matrix}
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