Sejam as retas () e () dadas respectivamente pelas equações e . Considere () o lugar geométrico dos centros das circunferências que tangenciam simultaneamente () e (). Uma equação que descreve () é dada por:
Distância de ponto $ P = (x_0, y_0) $ a reta $ t: \: A x + By+C=0$:
$$
d (P, t) = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}
$$
Seja $ C = (x,y) $ o centro da circunferência $\Gamma$ que tangencia simultaneamente as retas $ r $ e $ s$.
\begin{align*}
d(C,r) & = d(C,s) \\[10pt]
\frac{|3x - 4y + 12|}{5} & = \frac{|3x-4y + 4|}{5} \\[10pt]
|3x-4y+12| & = |3x-4y+4|\\
\end{align*}
Somente uma possibilidade da equação modular convém:
$$
3x-4y + 12 = - (3x-4y - 4)
$$
$$
2(3x-4y) + 16 = 0
$$
$$
3x-4y + 8 = 0
$$
Alternativa correta: $\boxed{\mathrm{A}}$
$$ \boxed{3x-4y + 8 = 0}
$$
