Seja a função definida por Sobre sua inversa podemos garantir que:
Analisando $f(x)$: \begin{matrix} f(x) = \dfrac{2(x - 2)+1}{x -2}+1 &\Rightarrow&f(x) = 3 + \dfrac{1}{x -2}
\end{matrix}
Vejamos se ela é injetora:
$\color{orangered}{Obs:}$ se $f(x)$ é injetora,
\begin{matrix} f(a) = f(b) \Leftrightarrow a = b \end{matrix} Logo: \begin{matrix}3 + \dfrac{1}{a -2} = 3 + \dfrac{1}{b -2} &\Rightarrow& a = b &\therefore &{(é \ injetora)}
\end{matrix}
Vejamos se ela é sobrejetora:
$\color{orangered}{Obs:}$ se $f: A \rightarrow B$ é sobrejetora,\begin{matrix} \forall \ y \in B, \ \ \exists \ x \in A \rightarrow \ y = f(x) \end{matrix}Seja $t \in Im(f)$ \begin{matrix} t = 3 + \dfrac{1}{x -2} &\Rightarrow&x = 2 + \dfrac{1}{t -3}
\end{matrix}Assim, para todo $t \ne 3$ existe um $x \in D(f)$, o que a torna uma função sobrejetora!
Encontremos agora a inversa de $f(x)$:
$\color{orangered}{Obs:}$ $f(x)$ só é inversível se for bijetora, o que significa ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
\begin{matrix} y = 3 + \dfrac{1}{x -2} &\Rightarrow&
x = \dfrac{5 - 2y}{3 - y} &\therefore&
f(y)^{-1} = \dfrac{5 - 2y}{3 - y} = \dfrac{2y - 5}{y-3}, \ \ y \ne 3
\end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (E)
\end{matrix}