Seja a função $f:\mathbb{R} - \{2\} → \mathbb{R} - \{3\}$ definida por $f(x) = \dfrac{2x - 3}{x -2}+1$ Sobre sua inversa podemos garantir que:


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ITA IIIT 24/10/2021 04:36
Analisando $f(x)$: \begin{matrix} f(x) = \dfrac{2(x - 2)+1}{x -2}+1 &\Rightarrow&f(x) = 3 + \dfrac{1}{x -2} \end{matrix} Vejamos se ela é injetora: $\color{orangered}{Obs:}$ se $f(x)$ é injetora, \begin{matrix} f(a) = f(b) \Leftrightarrow a = b \end{matrix} Logo: \begin{matrix}3 + \dfrac{1}{a -2} = 3 + \dfrac{1}{b -2} &\Rightarrow& a = b &\therefore &{(é \ injetora)} \end{matrix} Vejamos se ela é sobrejetora: $\color{orangered}{Obs:}$ se $f: A \rightarrow B$ é sobrejetora,\begin{matrix} \forall \ y \in B, \ \ \exists \ x \in A \rightarrow \ y = f(x) \end{matrix}Seja $t \in Im(f)$ \begin{matrix} t = 3 + \dfrac{1}{x -2} &\Rightarrow&x = 2 + \dfrac{1}{t -3} \end{matrix}Assim, para todo $t \ne 3$ existe um $x \in D(f)$, o que a torna uma função sobrejetora! Encontremos agora a inversa de $f(x)$: $\color{orangered}{Obs:}$ $f(x)$ só é inversível se for bijetora, o que significa ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. \begin{matrix} y = 3 + \dfrac{1}{x -2} &\Rightarrow& x = \dfrac{5 - 2y}{3 - y} &\therefore& f(y)^{-1} = \dfrac{5 - 2y}{3 - y} = \dfrac{2y - 5}{y-3}, \ \ y \ne 3 \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (E) \end{matrix}
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