Seja a função $f:\mathbb{R} - \{2\} → \mathbb{R} - \{3\}$ definida por $f(x) = \dfrac{2x - 3}{x -2}+1$ Sobre sua inversa podemos garantir que:
• Ajeitando $f(x)$:
\begin{matrix} f(x) = \frac{2(x - 2)+1}{x -2}+1 \\ f(x) = 3 + \frac{1}{x -2}
\end{matrix}
• Vejamos se ela é injetora:
$\color{orangered}{Obs:}$ se $f(x)$ é injetora,
\begin{matrix} f(a) = f(b) \Leftrightarrow a = b \end{matrix}
Logo: \begin{matrix}3 + \frac{1}{a -2} = 3 + \frac{1}{b -2} \\ a = b \ \\ {(é \ injetora)}
\end{matrix}
• Vejamos se ela é sobrejetora:
$\color{orangered}{Obs:}$ se $f: A \rightarrow B$ é sobrejetora,
\begin{matrix} \forall \ y \in B, \ \ \exists \ x \in A \rightarrow \ y = f(x) \end{matrix}
Seja $t \in Im(f)$ \begin{matrix} t = 3 + \frac{1}{x -2} \\ x = 2 + \frac{1}{t -3}
\end{matrix}
Assim, para todo $t \ne 3$ existe um $x \in D(f)$, o que a torna uma função sobrejetora!
• Encontremos agora a inversa de $f(x)$:
$\color{orangered}{Obs:}$ $f(x)$ só é inversível se for bijetora, o que significa ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
\begin{matrix} y = 3 + \frac{1}{x -2} \\
x = \frac{5 - 2y}{3 - y} \\ \\
f(y)^{-1} = \frac{5 - 2y}{3 - y} = \frac{2y - 5}{y-3}, \ \ y \ne 3 \\ \\ Letra \ (E)
\end{matrix}
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