Para que A seja inversível precisamos que $Det A \neq 0$, então $\sin{x} \cdot 2\sin{x} - 2 \cdot \log _{3} 10 \neq 0 \rightarrow 2\sin^2{x} \neq 2\log _{3} 10 \rightarrow \sin{x} \neq \pm \sqrt{\log _{3} 10}$, mas $\sqrt{\log _{3} 10} > 1$, portanto $ \sin{x} \neq \pm \sqrt{\log _{3} 10}$ é verdade para qualquer valor de $x$, o que implíca que a matriz $A$ é inversível para qualquer valor de $x$

Uma maneira diferente de se pensar nessa questão: É necessário saber que para que a matriz $A$ seja inversível o seu determinante deve ser diferente de zero. Portanto, temos que $$det \ A = 2sin^{2} x - 2log_{3} 10 \neq 0.$$ Sabemos que a função seno deve obedecer a seguinte desigualdades: $$-1 \leq sin x \leq 1 \Rightarrow 0 \leq sin^{2} x \leq 1 \Rightarrow 0 \leq 2sin x \leq 2.$$ Além disso, sabe-se que $$2 \leq log_{3} 10 \leq 3 \Rightarrow 4 \leq 2log_{3} 10 \leq 6.$$ Portanto, analisando as desigualdades, fica evidente que qualquer que seja o x, o determinante será diferente de zero. Letra C.