Sistematicamente, pode ser mais simples inverter a reação e balancear ela pelo método $\text{REDOX}$ - dado que a inversão não muda o balanceamento, e facilita a aplicação de fórmulas prontas. Contudo, isso não é necessário caso se entenda realmente o método $\text{REDOX}$, no caso, é até mais simples raciocinar de forma direta. Nesse contexto, comecemos por verificar o $\text{NOX}$ dos elementos:\begin{matrix} \ce{2 \overset{\color{orangered}{+7}}{M}n\overset{\color{gray}{-2}}{O}4^{-} &+& x \overset{\color{gray}{+1}}{H}^+ &+& y \overset{\color{#3368b8}{-1}}{Cl}^- &->& 2 \overset{\color{orangered}{+2}}{M}n^{2+} &+& z \overset{\color{#3368b8}{0}}{Cl2} &+& w \overset{\color{gray}{+1}}{H}_2\overset{\color{gray}{-2}}{O} } \end{matrix}Com isso, nota-se as variações:\begin{matrix} \ce{\Delta Mn &,& \Delta O &,& \Delta H &,& \Delta Cl } \\ -5 && 0 && 0 && +1 \end{matrix}Por outro lado, também é possível extrair mais informações, dando enfase em:\begin{matrix} \ce{MnO4-} &\rightarrow& \text{Agente Oxidante} \\ \ce{Cl-} &\rightarrow& \text{Agente Redutor} \end{matrix}Além disso, observe que cada átomo de $\ce{Mn}$ ganha $\ce{5 e-}$, assim como a célula $\ce{MnO4-}$ também, ou seja, para $2\ce{MnO4-}$ há um ganho de $\ce{10 e-}$. Em compensação, cada átomo de $\ce{Cl}$ perde $\ce{1 e-}$, isto é, cada $\ce{Cl-}$ perde $\ce{1 e-}$. Ora, então como balancear a equação? Bem, basta pensar na neutralidade da reação, sabe-se que é preciso ceder $\ce{10 e-}$ para o ganho do $2\ce{MnO4-}$, consequentemente, é necessário $\ce{10 Cl-}$ para ceder isso. Como resultado, segue:\begin{matrix} \ce{2MnO4^{-} &+& x H^+ &+& 10 Cl^- &->& 2 Mn^{2+} &+& z Cl2 &+& w H_2O } \end{matrix}Veja que balancear os demais elementos não é difícil; diretamente é possível ver que $z = 5$, assim como para balancear os oxigênios $w = 8$, logo, $ x = 16$. Portanto, os coeficientes são:\begin{matrix} x= 16 &,& y = 10 &,& z = 5 &,& w =8 \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (A) \end{matrix}