$E_c+E_p=E_p(A)$.. $(mv^2)/2+(kx^2)/2=(kA^2)/2$... $(mv^2)+(kx^2)=(kA^2)$... $(mv^2/k)+x^2=A^2$... $((m/k)(I^2/m^2)+x^2=A^2$... $(I^2/(km))+x^2=A^2$... $A=\sqrt(x^2+((I^2)/(km))$..

Tá na hora de cartear. Essa questão não é diferente dessa outra questão: https://cosseno.com/r/1za89m37. Veja que inicialmente o corpo está na posição $x = - x_{0}$, isso quer dizer que existe uma força restauradora empurrando o corpo para a direita a fim do equilíbrio ser restaurado. Então, irá atuar um impulso instantâneo no corpo de modo que a amplitude final seja algo do tipo $A = x_{0} + z$, sendo $z$ o deslocamento adicional da amplitude inicial. Certo, a primeira coisa que tu deve pensar quando temos o impulso é a relação com o momento linear. $$I = \Delta p \Rightarrow I = mV \Rightarrow V^{2} = \dfrac{I^{2}}{m^{2}}.$$ Com isso, o que nos resta é fazer uma conservação de energia para encontrar a amplitude do movimento. Tal conservação se consiste no seguinte: inicialmente toda a energia cinética é convertida em energia potencial, porém, existe ainda um termo de energia cinética causado pelo impulso instantâneo e no final temos toda essas duas energias convertidas em potencial com uma nova amplitude. Logo, $$\dfrac{mV^{2}}{2} + \dfrac{kx^{2}_{0}}{2} = \dfrac{kA^{2}}{2} \Rightarrow \dfrac{I^{2}}{2m} + \dfrac{kx^{2}_{0}}{2} = \dfrac{kA^{2}}{2} \Rightarrow A = \left(\dfrac{I^{2}}{mk} + x_{0}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}.$$