Com conhecimento da tangente da soma, consequentemente do arco-duplo, pode-se escrever:\begin{matrix} \tan{\left[ 2\left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{x}{2}\right)\right]} = \dfrac{2\tan{\left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{x}{2}\right)}}{1 - \tan^2{\left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{x}{2}\right)}} \end{matrix}$\color{orangered}{\text{Obs:}}$ Por simplificação, façamos: $\tan^2{\left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{x}{2}\right)} = y$ Continuando,\begin{matrix} \tan{\left( \dfrac{\pi}{2} - x \right)} = \dfrac{2y}{1 -y^2} &,& \tan{\left( \dfrac{\pi}{2} - x \right)} = \cot{x} \end{matrix}Então, \begin{matrix} (\cot{x})y^2 + 2y - \cot{x} =0 \end{matrix}Dividindo tudo por $\cot{x}$:\begin{matrix} y^2 + 2(\tan{x})y - 1 = 0 \end{matrix}$\color{orangered}{\text{Obs:}}$ $\cot^{-1}{x} = \tan{x}$ Com isso, resolvendo a equação de segundo grau:\begin{matrix} y = \dfrac{-2\tan{x} \pm 2\sqrt{\tan^2{x} + 1}}{2} \end{matrix}Conhecida a relação fundamental da trigonometria:\begin{matrix} \tan^2{x} + 1 = \sec^2{x} \end{matrix}Consequentemente,\begin{matrix} y = -\tan{x} \pm \sec{x} = \dfrac{-\sin{x} \pm 1}{\cos{x}} \end{matrix}Novamente, conforme relação fundamental da trigonometria, pode-se encontrar o $\cos{x}$:\begin{matrix} \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 &\therefore& \cos{x} = \pm \left(\dfrac{2\sqrt{mn}}{m+n} \right)\end{matrix}Substituindo nosso resultado acima no que constatamos anteriormente:\begin{matrix} y = \dfrac{- \left(\dfrac{m-n}{m+n} \right) \pm 1}{\pm \left(\dfrac{2\sqrt{mn}}{m+n} \right)} = \dfrac{(n-m) \pm(m+n)}{\pm 2\sqrt{mn}} \end{matrix}Portanto, constatamos duas respostas:\begin{matrix} y_1 = \sqrt{\dfrac{n}{m}} &,& y_2 = \sqrt{\dfrac{m}{n}} \end{matrix}Como só há um gabarito:\begin{matrix}Letra \ (D) \end{matrix}

Utilizando a diferença de arcos da tangente, podemos encontrar a seguinte expressão: $$tg\left(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{1 - tg{\frac{x}{2}}}{1 + tg \frac{x}{2}}.$$ Mas, lembre-se que $$sin \left(\dfrac{x}{2}\right) = \sqrt{\dfrac{1 - cos \ x}{2}}\\ cos \left(\dfrac{x}{2}\right) = \sqrt{\dfrac{1 + cos \ x}{2}},$$ portanto, realizando a divisão entre as duas equações trigonométricas, encontrando a tangente do arco metade, então basta substituir na equação pedida pelo enunciado. $$tg \left(\dfrac{x}{2}\right) = \sqrt{\dfrac{1 - cos \ x}{1 + cos \ x}}$$ Utilizando a relação fundamental da trigonometria, podemos encontrar uma expressão para o cosseno. $$\dfrac{m^{2} - 2mn + n^{2}}{m^{2} + 2mn + n^{2}} + cos^{2} \ x = 1 \Rightarrow cos^{2} \ x = \dfrac{4mn}{(m + n)^{2}} \Rightarrow cos \ x = \dfrac{2\sqrt{mn}}{m + n}.$$ $$tg \left(\dfrac{x}{2}\right) = \sqrt{\dfrac{\dfrac{m + n - 2\sqrt{mn}}{m + n}}{\dfrac{m + n + 2\sqrt{mn}}{m + n}}} = \dfrac{\sqrt{m} - \sqrt{n}}{\sqrt{m} + \sqrt{n}}$$ $$tg\left(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{1 - tg{\frac{x}{2}}}{1 + tg \frac{x}{2}} = \sqrt{\dfrac{n}{m}}$$ $$\text{Letra D}$$