Na figura ao lado, que representa a combinação de dois movimentos harmônicos simples em eixos perpendiculares e , sendo um número positivo, qual das expressões abaixo poderá representá-lo?


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Prof Nicholas 14/01/2023 01:11
Vamos pensar no que acontece com diferentes valores de $\alpha$. Começando com $\alpha=0$, a combinação dos movimentos harmônicos simples $(x,y)=(A\sin\omega t, B\sin\omega t)$ formará um percurso reto linear (coincide com parte do gráfico de $y=Bx/A$) atravessando os quadrantes $1$ e $3$, dado que $A,B\in\mathbb{R}^+$. Já com $\alpha=90º$, a combinação será $$(x,y)=(A\sin\omega t, B\sin(\omega t + 90º))\\ (x,y)=(A\sin\omega t, B\cos\omega t)$$ que corresponde à equação paramétrica de uma elipse, de modo que seu eixo maior atravesse os quadrantes $1$ e $3$ pois $A,B\in\mathbb{R}^+$. Note que, para $A=B$, teríamos um círculo. Assim, para valores intermediários, $0<\alpha<90º$ pense na linha com uma dimensão "expandindo", correspondente ao eixo menor da elipse. Já para valores $\alpha>90º$, note que $y=B\sin(\omega t + \alpha)$ vai decrescendo em relação ao valor quando $\alpha=90º$, fazendo com que a inclinação da elipse seja para a esquerda: o eixo maior agora cruza os quadrantes $2$ e $4$. Até que, quando $\alpha=180º$, a elipse degenera novamente para uma reta, mas desta vez passando pelos quadrantes $2$ e $4$: $(y=-Bx/A)$. Portanto, a única alternativa válida que sobrou no gabarito foi $\boxed{\text{B: }\alpha\in(0,90º)}$, dado que vemos uma elipse de eixo maior atravessando os eixos $1$ e $3$.
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Crédito da imagem: Universitas PGRI Palembang, Indonésia Chamamos essas figuras de curvas de Lissajous, aqui para valores de frequências iguais (é um caso especial). Recomendo ler mais sobre o tema a título de curiosidade! Qualquer coisa é só perguntar aqui embaixo nos comentários, bons estudos! 🚀
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ITA IIT
14:02 14/01/2023
Perfeito, Nicholas! Muito obrigado!
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