Seja $arctg \ \alpha = x$ e $arcsin \ \beta = y$, então $$tg (x + y) = \dfrac{tg \ x + tg \ y}{1 - tg \ x \ tg \ y}.$$ Sabemos também que se $arctg \ \alpha = x$, então $tg \ x = \alpha$ e $sin y = \beta$. Portanto, podemos reescrever a equação $$tg (x + y) = \dfrac{tg \ x + tg \ y}{1 - tg \ x \ tg \ y} = \dfrac{\alpha + tg \ y}{1 - \alpha \ tg \ y}.$$ Agora, basta encontrar a $tg \ y$ utilizando a informação que o $sin \ y = \beta$. $$cos \ y = \sqrt{1 - \beta^{2}}.$$ Então, $$tg (x + y) = \dfrac{\alpha + \dfrac{\beta}{\sqrt{1 - \beta^{2}}}}{1 - \alpha \ \dfrac{\beta}{\sqrt{1 - \beta^{2}}}} = - \dfrac{\beta + \alpha \sqrt{1 - \beta^{2}}}{\alpha \beta - \sqrt{1 - \beta^{2}}}.$$