Primeiro, analisarei a soma envolvendo a razão entre primos. $\sum \limits_{m=1}^{n-1} \frac{p^{n}}{p^{m}}$ $=$ $p^{n}\cdot (\frac{1}{p^1}+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^3}+\cdots)$ $=$ $p^{n}\cdot \frac{p^{-1} \cdot (p^{1-n} -1)}{-1+p^{-1}}$ $\cdot \frac{p}{p}$ $=$ $p^{n}\cdot \frac{(1-p^{1-n})}{p-1}$, logo: $ \sum \limits_{m=1}^{n-1} \frac{p^{n}}{p^{m}}$ $=$ $\frac{p^{n}-p}{p-1}$ Assim, o enunciado do problema pode ser bem substituido por: $p^n=z+\frac{p^{n}-p}{p-1}$ $\implies$ $z=p^n - \frac{p^{n}-p}{p-1}$ $=$ $\frac{p^{n+1}-2p^{n}+p}{p-1}$ Nesse sentido, as demais implicações devem ser observadas nas alternativas. Testando a alternativa E) $z\neq1$, obtêm-se: $1\neq \frac{p^{n+1}-2p^{n}+p}{p-1}$ $\implies$ $p-1\neq p^{n+1}-2p^{n}+p$ $\implies$ $p^{n}\cdot (p-2)\neq -1<0$ E este resultado é verdadeiro, visto que a expressão $p^{n}\cdot (p-2)$ não admite números negativos, pois $p\in \mathbb{Z}_{\geq 2}$. Alternativa $(\mathbb {E})$

Primeiramente iremos desenvolver a igualdade dada: $p^n = z + \displaystyle\sum_{m = 1 }^{n - 1}\dfrac{p^n}{p^m} = z + \dfrac{p^n}{p} + \dfrac{p^n}{p^2} + \dfrac{p^n}{p^3} +...+ \dfrac{p^n}{p^{n-1}}$ $=z +p^n\left(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \dfrac{1}{p^3} +...+ \dfrac{1}{p^{n-1}}\right) = z + p^n \cdot \dfrac{(1/p)(1 - (1/p)^{n-1})}{1 - 1/p}$ $= z + p^n \cdot \dfrac{1}{p} \cdot \dfrac{p^{n-1} - 1}{p^n} \cdot p \cdot \dfrac{p}{p - 1} = p^n = z + p \cdot \dfrac{p^{n - 1} - 1}{p - 1}$ Note que $p - 1 \mid p^{n - 1} -1$ e $ p \cdot \dfrac{p^{n - 1} - 1}{p - 1} > 0$ , portanto , $ p \cdot \dfrac{p^{n - 1} - 1}{p - 1}$ pertence aos inteiros maiores que zero , como $p^n$ é um inteiro maior que $0$ , então conclui-se que $z$ pertence aos inteiros , perceba que $ p \cdot \dfrac{p^{n - 1} - 1}{p - 1} < p^n$ , implicando dizer que $z > 0$ , vale notar também que $z = 1$ não satisfaz $z + p \cdot \dfrac{p^{n - 1} - 1}{p - 1} = p^n$ , logo , $z > 1$. Agora iremos analisar as afirmações feitas sobre $z$: $A)$ Suponha que $z < p$ , logo : $p^n - p \cdot \dfrac{p^{n - 1} - 1}{p - 1} < p \implies p^{n +1} - p^n - p^n + p < p^2 - p$ $\implies p^{n + 1} - 2p^n < p^2 - 2p \implies p^n(p - 2) < p(p - 2) \implies p^n < p$ Note que é um absurdo $p^n < p$ .Dessa forma a suposição $z < p$ não é verdadeira , logo , essa afirmação está incorreta. $B)$ $z$ não é um inteiro qualquer , existem restrições para $z$. $C)$ $z$ tem que ser maior que $1$ , $z$ é maior que $p$ , mas $z$ não pode ser qualquer real, pois , $z$ é um inteiro. $D)$ Nota-se claramente que $z \neq n \log p $. $E)$ Essa é a única afirmação que não há contradições com as nossas conclusões. $\boxed{\textbf{Resposta :Alternativa E}} $