A solução conveniente para esta questão se utiliza do Teorema de Newton. Do contrário, nos depararemos com operações muito grandes e inviáveis no momento da prova. Do teorema, em conformidade com a questão, temos:$$S_k = p^k+q^k\space ,\space k\in \mathbb{Z}$$$$5\cdot S_k +2\cdot S_{k-1} - 1\cdot S_{k-2} = 0 \implies \color{red}{5S_k +2S_{k-1} = S_{k-2}}$$Percebe-se portanto que a questão pede o valor de $S_{-5} = p^{-5} + q^{-5}$ . Antes de defini-lo, percebamos algumas $S_k$ já conhecidas:$$S_0 = p^0 + q^0 = 1+1 = 2$$Considerando $P(x) = 5x^2 + 2x - 1$, do Teorema de Girard, temos que:$$S_{-1} = -\frac{P\space '(0)}{P(0)} = -\frac{10\cdot 0 + 2}{5\cdot 0^2 + 2\cdot 0 - 1} = 2 \implies S_0 = S_{-1} = 2$$em que $P\space '(x)$ é a derivada de $P(x)$. $$5S_0 + 2S_{-1} = \color{red}{S_{-2} = 14 }\newline \space \color{white}{5S_{-1} + 2S_{-2} =\space } \color{red}{S_{-3} = 38 }\newline \space \space \space \color{white}{5S_{-2} + 2S_{-3} =\space} \color{red}{S_{-4} = 146 }\newline \space \space \space \color{white}{5S_{-3} + 2S_{-4} = \space}\color{green}{S_{-5} = 482 }$$$$\boxed{p^{-5} + q^{-5} = 482}$$$$\text{Alternativa } \mathbb{(C)}$$