$\text{Ignore os números marcados na imagem.}$ $\text{Use a imagem apenas como base para entender o que estou fazendo.}$ $\text{Sabemos que a área de um círculo é dada por $\red{\pi \cdot r²}$ onde $\red{r}$ é o raio.}$ $\text{O volume de um disco, ou melhor, um cilíndro muito fino seria $\red{\pi \cdot r²\cdot h}$ onde $\red{h}$ é a altura.}$ $\text{No nosso caso, $\red{r}=\dfrac{1}{x}$ para o $\red{x}$ qualquer. Note que $\red{h}=dx$ nossa altura estará no eixo x.}$ $\displaystyle \int\limits_{1\le x\le 10} \purple{\pi\cdot \left( \dfrac{1}{x}\right )^{2}}\cdot \red{dx}= \pi \cdot \int\limits_{1\le x\le 10} x^{-2}\cdot dx$ $\text{A partir de agora aplicamos a integral no intervalo definido e fazemos contas:}$ $\pi \cdot \dfrac{10^{-1}}{-1} - \left( \pi \cdot \dfrac{1^{-1}}{-1} \right )= -\pi \cdot \dfrac{1}{10} + \pi \cdot \dfrac{1}{1} = \dfrac{9\pi}{10}$