A priori, devemos encontrar, inicialmente, a $f^{-1}(x)$ e depois aplicar o limite de $x$ tendendo à $\sqrt{a}$. Resolvendo a primeira parte do problema, temos que isolar $x$ em função de $f(x)$ e após trocar $x$ por $f^{-1}(x)$ e trocar $f(x)$ por $x$. Assim, temos: $$ f(x) = a^{x+2} \implies \log_{a} f(x) - 2 = x \implies f^{-1}(x) = \log_{a} x -2$$ Agora, resolvendo o limite da questão, temos: $$ \lim_{x \to \sqrt{a}} f^{-1} (x) =\lim_{x \to \sqrt{a}} \log_{a} x - \lim_{x \to \sqrt{a}} 2 = \log_{a}\sqrt{a} - 2 = \frac{1}{2}\ \log_{a} a - 2 = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}$$ Onde aplicamos a algumas propriedades básicas dos logaritmos e limites. Assim, a alternativa correta é a: LETRA C)