USP 2013 Matemática - Questões

Um empreiteiro contratou um serviço com um grupo de trabalhadores pelo valor de R$ $10.800,00$ a serem igualmente divididos entre eles. Como três desistiram do trabalho, o valor contratado foi dividido igualmente entre os demais. Assim, o empreiteiro pagou, a cada um dos trabalhadores que realizaram o serviço, R$ $600,00$ além do combinado no acordo original.

1. a) Quantos trabalhadores realizaram o serviço?
   

2. b) Quanto recebeu cada um deles?
   

Sócrates e Xantipa enfrentam-se em um popular jogo de tabuleiro, que envolve a conquista e ocupação de territórios em um mapa. Sócrates ataca jogando três dados e Xantipa se defende com dois. Depois de lançados os dados, que são honestos, Sócrates terá conquistado um território se e somente se as duas condições seguintes forem satisfeitas:

1) O maior valor obtido em seus dados for maior que o maior valor obtido por Xantipa;

2) Algum outro dado de Sócrates cair com um valor maior que o menor valor obtido por Xantipa.

1. a) No caso em que Xantipa tira $5$ e $5$, qual é a probabilidade de Sócrates conquistar o território em jogo?
   

2. b) No caso em que Xantipa tira $5$ e $4$, qual é a probabilidade de Sócrates conquistar o território em jogo?
   

Considere o polinômio $p(x)=x^4+1$.

1. a) Ache todas as raízes complexas de $p(x)$.
   

2. b) Escreva $p(x)$ como produto de dois polinômios de segundo grau, com coeficientes reais.
   

Uma das primeiras estimativas do raio da Terra é atribuída a Eratóstenes, estudioso grego que viveu, aproximadamente, entre $275$ a.C. e $195$ a.C.

Sabendo que em Assuã, cidade localizada no sul do Egito, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical não apresentava sombra, Eratóstenes decidiu investigar o que ocorreria, nas mesmas condições, em Alexandria, cidade no norte do Egito. O estudioso observou que, em Alexandria, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical apresentava sombra e determinou o ângulo $\theta$ entre as direções do bastão e de incidência dos raios de sol. O valor do raio da Terra, obtido a partir de $\theta$ e da distância entre Alexandria e Assuã foi de, aproximadamente, $7\ 500\ \text{km}$. O mês em que foram realizadas as observações e o valor aproximado de $\theta$ são

NOTE E ADOTE:

* Distância estimada por Eratóstenes entre Assuã e Alexandria $\approx 900\ \text{km}$

* $\pi =3$

Vinte times de futebol disputam a Série A do Campeonato Brasileiro, sendo seis deles paulistas. Cada time joga duas vezes contra cada um dos seus adversários. A porcentagem de jogos nos quais os dois oponentes são paulistas é