USP 2009 - Questões

Há um ano, Bruno comprou uma casa por R$ 50.000,00. Para isso, tomou emprestados R$ $10.000,00$ de Edson e R$ $10.000,00$ de Carlos, prometendo devolver-lhes o dinheiro, após um ano, acrescido de 5% e 4% de juros, respectivamente.

A casa valorizou 3% durante este período de um ano. Sabendo-se que Bruno vendeu a casa hoje e pagou o combinado a Edson e Carlos, o seu lucro foi de

O polinómio $p\left(x\right)=x^3+ax^2+bx$ , em que $a$ e $b$ são números reais, tem restos $2\ e\ 4$ quando dividido por $(x-2)$ e $(x-1)$, respectivamente. Assim, o valor de $a$ é

O número real $\boldsymbol{a}$ é o menor dentre os valores de $x$ que satisfazem a equação

$2{{\log}_2 \left(1+\sqrt{2}x\right)\ }-{{\log}_2 \left(\sqrt{2}x\right)\ }=3$ Então, ${{\log}_2 \left(\frac{2a+4}{3}\right) }$ é igual a

Considere, no plano cartesiano $Oxy$, a circunferência $C$ de equação ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=4$ e sejam $P$ e $Q$ os pontos nos quais $C$ tangencia os eixos $Ox$ e $Oy$, respectivamente.

Seja $PQR$ o triângulo isósceles inscrito em $C$, de base $\overline{PQ}$, e com o maior perímetro possível.

Então, a área de $PQR$ é igual a

O ângulo $\theta$ formado por dois planos $\alpha$ e $\beta$ é tal que ${\hspace{2pt}\mathrm{tg}\ \theta \ }=\frac{\sqrt{5}}{5}$. O ponto $P$ pertence a $\alpha$ e a distância de $P$ a $\beta$ vale 1. Então, a distância de $P$ à reta intersecção de $\alpha$ e $\beta$ é igual a