USP 2006 - Questões

Na figura abaixo, a reta $s$ passa pelo ponto $P$ e pelo centro da circunferência de raio $R$, interceptando-a no ponto $Q$, entre $P$ e o centro. Além disso, a reta $t$ passa por $P$, é tangente à circunferência e forma um ângulo $\alpha$ com a reta $s$. Se $\overline{PQ}\ =\ 2R$, então $\cos\ \alpha$ vale

João, Maria e Antônia tinham, juntos, R$ $100.000,00$. Cada um deles investiu sua parte por um ano, com juros de $10\%$ ao ano. Depois de creditados seus juros no final desse ano, Antônia passou a ter R$ $11.000,00$ mais o dobro do novo capital de João. No ano seguinte, os três reinvestiram seus capitais, ainda com juros de $10\%$ ao ano. Depois de creditados os juros de cada um no final desse segundo ano, o novo capital de Antônia era igual à soma dos novos capitais de Maria e João. Qual era o capital inicial de João?

Três números positivos, cuja soma é $30$, estão em progressão aritmética. Somando-se, respectivamente, $4$, $-4$ e $-9$ ao primeiro, segundo e terceiro termos dessa progressão aritmética, obtemos três números em progressão geométrica. Então, um dos termos da progressão aritmética é

O conjunto dos números reais $x$ que satisfazem a inequação ${\mathrm{log}}_2 (2x + 5)\ -{\mathrm{log}}_2 (3x-1) >1$ é o intervalo:

Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem.

Em uma comemoração, na qual $37$ pessoas almoçaram juntas, todos se cumprimentaram e se despediram na forma descrita acima. Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados $720$ apertos de mão?