USP 2005 - Questões

O menor número inteiro positivo que devemos adicionar a $987$ para que a soma seja o quadrado de um número inteiro positivo é

Sabe-se que $x = 1$ é raiz da equação $\left(\cos^2\ \alpha\right)x^2-\left(4\cos\ \alpha\cdot \hspace{2pt}\mathrm{sen}\ \beta\right)x+\dfrac{3}{2}\hspace{2pt}\mathrm{sen}\ \beta=0$, sendo $\alpha$ e $\beta$ os ângulos agudos indicados no triângulo retângulo da figura abaixo.

Pode-se então afirmar que as medidas de $\alpha$ e $\beta$ são, respectivamente,

Suponha que um fio suspenso entre duas colunas de mesma altura $h$, situadas à distância $d$ (ver figura), assuma a forma de uma parábola.

Suponha também que

1. I. A altura mínima do fio ao solo seja igual a $2$;
   

2. II. A altura do fio sobre um ponto no solo que dista $\dfrac{d}{4}$ de uma as colunas seja igual a $\dfrac{h}{2}$
   

Se $h=3\dfrac{d}{8}$, então $d$ vale

A soma das distâncias de um ponto interior de um triângulo equilátero aos seus lados é $9$. Assim, a medida do lado do triângulo é

Os pontos $D$ e $E$ pertencem ao gráfico da função $y =\log_a\ x$, com $a > 1$ (figura abaixo). Suponha que $B =(x,\ 0)$, $C = (x +1,\ 0)$ e $A = (x -1,\ 0)$. Então, o valor de $x$, para o qual a área do trapézio $BCDE$ é o triplo da área do triângulo $ABE$, é