USP 2003 Matemática - Questões

1. a) Quantos múltiplos de 9 há entre 100 e 1000?
   

2. b) Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e 1000?
   

Um caminhão transporta maçãs, peras e laranjas, num total de 10.000 frutas. As frutas estão condicionadas em caixas (cada caixa só contém um tipo de fruta), sendo que cada caixa de maçãs, peras e laranjas, tem, respectivamente 50 maçãs, 60 peras e 100 laranjas e custam, respectivamente, 20, 40 e 10 reais. Se a carga do caminhão tem 140 caixas e custa 3300 reais, calcule quantas maçãs, peras e laranjas estão sendo transportadas.

1. a) A reta $r$ passa pela origem do plano cartesiano e tem coeficiente angular $m\ >\ 0$. A circunferência $C$ passa pelos pontos $(1,0)$ e $(3,0)$ e tem centro no eixo $x$. Para qual valor de $m$ a reta $r$ é tangente a$\ C$?
   

2. b) Suponha agora que o valor de $m$ seja menor que aquele determinado no item anterior. Calcule a área do triângulo determinado pelo centro de $C$ e pelos pontos de intersecção de $r$ com $C$.
   

Nos itens abaixo, $z$ denota um número complexo e $i$ a unidade imaginária $\left(i^2=-1\right)$. Suponha $z\neq i$.

1. a) Para quais valores de $z$ tem-se $\dfrac{z+i}{1+iz} =2$?
   

2. b) Determine o conjunto de todos os valores de $z$ para os quais $\dfrac{z+i}{1+iz}$ é um número real.
   

Determine os valores de $x$ no intervalo $]0,\ 2\pi [$ para os quais $\cos\ x\ge \sqrt{3}\hspace{2pt}\mathrm{sen}\ x+\sqrt{3}$.