USP 2002 Matemática - Questões

Carlos, Luís e Sílvio tinham, juntos, 100 mil reais para investir por um ano. Carlos escolheu uma aplicação que rendia 15% ao ano. Luís, uma que rendia 20% ao ano. Sílvio aplicou metade de seu dinheiro em um fundo que rendia 20% ao ano, investindo a outra metade numa aplicação de risco, com rendimento anual pós-fixado. Depois de um ano, Carlos e Luís tinham juntos 59 mil reais; Carlos e Sílvio, 93 mil reais; Luís e Sílvio, 106 mil reais.

1. a) Quantos reais cada um tinha inicialmente?
   

2. b) Qual o rendimento da aplicação de risco?
   

Maria quer cobrir o piso de sua sala com lajotas quadradas, todas com lado de mesma medida inteira, em centímetros. A sala é retangular, de lados $2\ \text{m}$ e $5\ \text{m}$. Os lados das lajotas devem ser paralelos aos lados da sala, devendo ser utilizadas somente lajotas inteiras. Quais são os possíveis valores do lado das lajotas?

Sejam $A = (0,\ 0)$, $B = (8,\ 0)$ e $C = (-1,3)$ os vértices de um triângulo e $D = (u,\ v)$ um ponto do segmento $\overline{BC}$. Sejam $E$ o ponto de intersecção de $\overline{AB}$ com a reta que passa por $D$ e é paralela ao eixo dos $y$ e $F$ o ponto de intersecção de $\overline{AC}$ com a reta que passa por $D$ e é paralela ao eixo dos $x$.

1. a) Determine, em função de $u$, a área do quadrilátero $AEDF$.
   

2. b) Determine o valor de $u$ para o qual a área do quadrilátero $AEDF$ é máxima.
   

As raízes do polinômio $p(x)= x^3 - 3x^2 + m$, onde $m$ é um número real, estão em progressão aritmética. Determine

1. a) O valor de $m$;
   

2. b) As raízes desse polinômio.
   

Determine as soluções da equação $\left(2\cos^2\ x +3\ \hspace{2pt}\mathrm{sen}\ x\right)\left(\cos^2\ x-\hspace{2pt}\mathrm{sen}^2\ x\right)= 0$ que estão no intervalo $\left[0,\ 2\pi \right]$.