USP 1999 Matemática - Questões

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$$\hspace{2pt}\mathrm{sen}^3\ x\cdot\ \cos\ x - 3\cdot \hspace{2pt}\mathrm{sen}\ x\cdot \cos^3\ x\ =\ 0$$ no intervalo $[0,2\pi ]$.

Um jogo eletrônico funciona da seguinte maneira: no início de uma série de partidas, a máquina atribui ao jogador $P$ pontos; em cada partida, o jogador ganha ou perde a metade dos pontos que tem no início da partida.

1. a) Se uma pessoa jogar uma série de duas partidas nas quais ela ganha uma e perde outra, quantos pontos terá ao final?
   

2. b) Se uma pessoa jogar uma série de quatro partidas nas quais ela perde duas vezes e ganha duas vezes, quantos pontos terá ao final?
   

3. c) Se uma pessoa jogar uma série de sete partidas, qual o menor número de vitórias que ela precisará obter para terminar com mais que $P$ pontos?
   

A reta $r$ tem equação $2x+y=3$ e intercepta o eixo $x$ no ponto A. A reta $s$ passa pelo ponto $P=(1,2)$ e é perpendicular a $r$. Sendo B e C os pontos onde s intercepta o eixo $x$ e a reta $r$, respectivamente,

1. a) determine a equação de s.
   

2. b) calcule a área do triângulo $ABC$.
   

Considere o sistema linear nas incógnitas $x, y, z, w:$

$\left\{ \begin{array}{l} 2x+my=-2 \\ x+y=-1 \\ \begin{array}{l} y+(m-1)\ z+2w=2 \\ z-w=1 \end{array} \end{array} \right.$

1. a) Para que valores de m, o sistema tem uma única solução?
   

2. b) Para que valores de m, o sistema não tem solução?
   

3. c) Para $m=2$, calcule o valor de $2x+y-z-2w$.
   

Considere a função $$f\left(x\right)=2{{\log}_a \left(x^2+1\right)\ }-4{\log}_a x,$$ com $a>1$, definida para $x>0$.

1. a) Determine $g(x)$ tal que $f\left(x\right)={{\log}_a g(x)}$, onde $g$ é um quociente de dois polinômios.
   

2. b) Calcule o valor de $f(x)$ para $x=\sqrt{a^2-1}$