USP 1993 Matemática - Questões

Considere o experimento que consiste no lançamento de um dado perfeito (todas as seis faces têm probabilidades iguais). Com relação a esse experimento, considere os seguintes eventos:

$I$) O resultado do lançamento é par;

$II$) O resultado do lançamento é estritamente maior que 4;

$III$) O resultado é múltiplo de $3$

1. a) $I$ e $II$ são eventos independentes?
   

2. b) $II$ e $III$ são eventos independentes?
   

Sabendo-se que um polinômio $p(x)$ é um polinômio tal que $p(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ determine as raízes da equação $p(x) = 0$

Prove, sem desenvolver, que $\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ b+c & c+a & + b \end{array} \right| = 0$ independente dos valores de $a$, $b$ e $c$.

Resolva o sistema:

$$\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{2}{u} + \dfrac{3}{v} = 8 \\ \dfrac{1}{u} - \dfrac{1}{v} = -1 \end{array} \right.$$

Sabendo-se que $p(x)$ é um polinômio, $a$ é uma constante real e

$$p(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + \dfrac{a \cdot \cos\ x}{2 + x^2}$$

é uma identidade em $x$, determine:

1. a) O valor da constante $a$. Justifique.
   

2. b) As raízes da equação $p(x) = 0$.