USP 1992 Matemática - Questões

Numa urna há:

• uma bola numerada com o número $1$;

• duas bolas com o número $2$;

• três bolas com o número $3$, e assim por diante, até $n$ bolas com o número $n$.

Uma bola é retirada ao acaso desta urna.

Admitindo-se que todas as bolas têm a mesma probabilidade de serem escolhidas, qual é, em função de $n$, a probabilidade de que o número da bola retirada seja par?

Encontre todos os conjuntos de três números inteiros consecutivos cuja soma é igual ao seu produto.

Considere o polinômio não-nulo $P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n$, onde $a_0, a_1, a_2, \dots, a_n$ estão em progressão geométrica de razão $q \neq 0$.

1. a) Calcule $P \left( \dfrac{1}{q} \right)$;
   

2. b) Mostre que, para $n$ par, o polinômio $P(x)$ não tem raiz real.
   

Um recipiente contém uma mistura de leite natural e de leite de soja num total de $200$ litros, dos quais $25\%$ são de leite natural. Qual é a quantidade de leite de soja que deve ser acrescentada a esta mistura para que ela venha a conter $20\%$ de leite natural?

1. 1) Resolva o sistema: $\left\{ \begin{array}{l} 2x - y = -3 \\ -x + y = 2 \end{array} \right.$ onde $x$ e $y$ são números reais.
   

2. 2) Usando a resposta do item (a) resolva o sistema: $$\left\{ \begin{array}{l} 2(a^2 - 1) - (b-1)^2 = -3 \\ -(a^2 - 1) + (b-1)^2 = 2 \end{array} \right.$$