USP 1988 Matemática - Questões

Determine a função $g(x)$ cujo gráfico é o simétrico ao gráfico da função $f(x) = 2x - x^2$ em relação à reta $y = 3$. Esboce o gráfico.

Desenhe o gráfico da função $f(x) = 2x + \left| x - 2|x| \right|$

Num triângulo $ABC$, sejam $P$ e $Q$ pontos sobre $BA$ e $BC$, respectivamente, de modo que a reta $PQ$ seja paralela à reta $AC$ e a área do trapézio $APQC$ seja o triplo da área do triângulo $PQB$.

1. a) Qual a razão entre as áreas dos triângulos $ABC$ e $PQB$?
   

2. b) Determine a razão $\dfrac{AB}{PB}$.
   

Deseja-se construir um anel rodoviário circular em torno da cidade de São Paulo, distando aproximadamente $20 \ \text{km}$ da Praça da Sé.

1. a) Quantos quilômetros deverá ter essa rodovia?
   

2. b) Qual a densidade demográfica da região interior ao anel (em habitantes por $\text{km}^2$), supondo que lá residam $12$ milhões de pessoas?
   

Adote o valor $\pi = 3$.

Em um plano, $m$ retas paralelas são cortadas por $n$ retas também paralelas. Determine o número de paralelogramos cujos lados estão contidos nessas retas.