UNIFESP 2002 - Questões

Os números complexos $1 + i$ e $1 - 2i$ são raízes de um polinômio com coeficientes reais, de grau 8.

O número de raízes reais deste polinômio, no máximo, é:

Em uma sequência de 8 números, $a_1,\ \ a_2,\ \dots ,\ \ a_7,\ \ a_8$, os 5 primeiros termos formam uma progressão aritmética (P.A.) de primeiro termo 1; os 3 últimos formam uma progressão geométrica (P.G.) de primeiro termo 2.

Sabendo que $a_5=a_6$ e $a_4=a_7$,

1. a) determine as razões da P.A. e da P.G.
   

2. b) escreva os 8 termos dessa sequência.
   

Uma pessoa comprou um número (de dois algarismos) de uma rifa, constante de números de 00 a 99. O sorteio será feito de uma das duas maneiras descritas a seguir.

A: Em uma urna, são colocadas 100 bolas, numeradas de 00 a 99, de onde será retirada uma única bola.

B: Em uma urna, são colocadas 20 bolas, numeradas de 0 a 9, sendo duas com número 0, duas com número 1,$\dots$, até duas numeradas com 9. Uma bola é retirada, formando o algarismo das dezenas e, depois, sem reposição da primeira bola, outra é retirada, formando o algarismo das unidades.

1. a) Qual é a probabilidade de ganhar no sorteio descrito em $A$?
   

2. b) Qual é a probabilidade de ganhar no sorteio descrito em $B$?
   

Um número inteiro $n$, quando dividido por 7, deixa resto 5. Qual será o resto na divisão de $n^2+n$ por 7?

Um ponto do plano cartesiano é representado pelas coordenadas $(x + 3y,-x - y)$ e também por $(4 + y,\ 2x + y)$, em relação a um mesmo sistema de coordenadas. Nestas condições, $x^y$ é igual a