UNICAMP 2003 Matemática - Questões

Uma pessoa possui a quantia de 7.560,00 reais para comprar um terreno, cujo preço é de 15,00 reais por metro quadrado. Considerando que os custos para obter a documentação do imóvel oneram o comprador em 5% do preço do terreno, pergunta-se:

1. a) Qual é o custo final de cada $m^2$ do terreno?
   

2. b) Qual é a área máxima que a pessoa pode adquirir com o dinheiro que ela possui?
   

Sejam $a$ e $b$ dois números inteiros positivos tais que $\text{MDC}\left(a,b\right)=5$ e o $\text{MMC}\left(a,b\right)=105$.

1. a) Qual é o valor de $b$ se $a=35$?
   

2. b) Encontre todos os valores possíveis para $(a,b)$.
   

Os pontos A e B estão, ambos, localizados na superfície terrestre a $60 ^\circ$ de latitude norte; o ponto $A$ está a $15 ^\circ 45'$ de longitude leste e o ponto $B$ a $56 ^\circ 15'$ de longitude oeste.

1. a) Dado que o raio da Terra, considerada perfeitamente esférica, mede $6.400\ km$ qual é o raio do paralelo de $60 ^\circ$?
   

2. b) Qual é a menor distância entre os pontos $A$ e $B$, medida ao longo do paralelo de $60 ^\circ$? [Use $22/7$ como aproximação para $\pi$]
   

As equações ${\left(x+1\right)}^2+y^2=1$ e ${\left(x-2\right)}^2+y^2=4$ representam duas circunferências cujos centros estão sobre o eixo das abscissas.

1. A) Encontre, se existirem, os pontos de intersecção daquelas circunferências.

2. B) Encontre o valor de $a\ \in R$, $a\ne 0$, de modo que duas retas que passam pelo ponto ($a,0$) sejam tangentes às duas circunferências.

Considere o conjunto $S=\{n\mathrm{\ }\in \mathrm{\ }\mathbb{N}\mathrm{:}20\le n\le 500\}$.

1. A) Quantos elementos de $S$ são múltiplos de 3 e de 7?

2. B) Escolhendo-se ao acaso um elemento de $S$, qual a probabilidade de o mesmo ser um múltiplo de 3 ou de 7?