UFPR 2011 Matemática - Questões

Atribui-se ao matemático De Moivre uma lenda sobre um homem que previu sua própria morte. As condições da previsão estão dentro de uma narrativa que modela grosseiramente vários aspectos da realidade. Por exemplo, dormir 24 horas seguidas equivale a morrer, e assim por diante. A lenda é a seguinte: um homem observou que cada dia dormia 15 minutos a mais que no dia anterior. Se ele fez essa observação exatamente após ter dormido 8 horas, quanto tempo levará para que ele durma 24 horas seguidas, não mais acordando?

Durante um passeio, uma pessoa fez o seguinte trajeto: partindo de um certo ponto, caminhou $3\ \text{km}$ no sentido norte, em seguida $4\ \text{km}$ para o oeste, depois $1\ \text{km}$ no sentido norte novamente, e então caminhou $2\ \text{km}$ no sentido oeste. Após esse percurso, a que distância a pessoa se encontra do ponto de onde iniciou o trajeto?

Uma jarra de vidro em forma cilíndrica tem $15\ \text{cm}$ de altura e $8\ \text{cm}$ de diâmetro. A jarra está com água até quase a borda, faltando $1\ \text{cm}$ de sua altura para ficar totalmente cheia.

1. a) Se uma bolinha de gude de $2\ \text{cm}$ de diâmetro for colocada dentro dessa jarra, ela deslocará que volume de água?
   

2. b) Quantas bolinhas de gude de $2\ \text{cm}$ de diâmetro serão necessárias para fazer com que a água se desloque até a borda superior da jarra?
   

100 litros de uma solução contêm inicialmente 75% de álcool e 25% de água. Indiquemos por $f(x)$ a concentração de água nessa solução após $x$ litros da água serem removidos, isto é, $$f\left(x\right)=\dfrac{\text{volume da água na solução após x litros da água serem removidos}}{\text{volume da solução após x litros da água serem removidos}}$$

1. a) Qual o valor de $f\left(0\right)$?
   

2. b) Obtenha a expressão de $f\left(x\right)$ em termos de $x$.
   

Suponha que a expressão $P=100+20{\hspace{2pt}\mathrm{sen}\ (2\pi t)\ }$ descreve de maneira aproximada a pressão sanguínea $P$, em milímetros de mercúrio, de uma certa pessoa durante um teste. Nessa expressão, $t$ representa o tempo em segundos. A pressão oscila entre 20 milímetros de mercúrio acima e abaixo dos 100 milímetros de mercúrio, indicando que a pressão sanguínea da pessoa é 120 por 80. Como essa função tem um período de 1 segundo, o coração da pessoa bate 60 vezes por minuto durante o teste.

1. a) Dê o valor da pressão sanguínea dessa pessoa em $t=0\ \text{s}$; $t=0,75\ \text{s}$.
   

2. b) Em que momento, durante o primeiro segundo, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo?