UFF 2008 Matemática - Questões

Seja $r$ a reta $y = -2x$.

Pede se:

1. i) as coordenadas do ponto $P$ que está no segundo quadrante, sobre a reta $r$ e cuja distância ao ponto $(0,-1)$ é $\sqrt{10}$ unidades;
   

2. ii) as coordendas do ponto $Q$, sobre a reta $r$, que está mais próximo do ponto $(0,-1)$.
   

Calcule o volume de um tetraedro regular cujos vértices foram escolhidos dentre os vértices de um cubo de $1\ m^3$ de volume.

Ao entrar na sala de aula, um professor de matemática encontrou as seguintes afirmações escritas no quadro:

1. i) Se $x$ é um número real, então $\sqrt{x^2} = x$
   

2. ii) Se $a$ e $b$ são números reais, $a \neq 0$ e $ax > b$, então $x > \dfrac{b}{a}$.
   

3. iii) $\displaystyle\sum\limits^{21}_{n=0}3^n = (1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{21}) = \dfrac{3^{22} - 1}{2}$
   

4. iv) Se $p$ e $q$ são números reais tais que $\log\ p^2 = \log\ q^2$, então $p = q$
   

Diga se cada uma das afirmações acima é verdadeira ou falsa. Justifique as suas respostas.

A Segunda Guerra Mundial motivou o estudo de vários problemas logísticos relacionados com o transporte e a distribuição de recursos. Muitos destes problemas podem ser modelados como um programa linear. Como um exemplo de programa linear, considere o problema de encontrar o par ordenado $(x, y)$ que satisfaz simultaneamente as condições

$$-2x + y \geq 0, \ x \geq0, \ x - y \geq 2,$$

e cuja soma das coordenadas $x + y$ é máxima.

Se $(x_o,y_o)$ é a solução deste programa linear, é corretor afirmar que:

A comunicação eletrônica tornou-se fundamental no nosso cotidiano, mas infelizmente, todo dia recebemos muitas mensagens indesejadas: propagandas, promessas de emagrecimento imediato, propostas de fortuna fácil, correntes, etc. Isso está se tornando um problema para os usuários da Internet pois o acúmulo de “lixo” nos computadores compromete o desempenho da rede!

Pedro iniciou uma corrente enviando uma mensagem pela Internet a dez pessoas, que, por sua vez, enviaram, cada uma, a mesma mensagem a outras dez pessoas. E estas, finalizando a corrente, enviaram, cada uma, a mesma mensagem a outras dez pessoas.

O número máximo de pessoas que receberam a mensagem enviada por Pedro é igual a: