PUC-SP 2016 Matemática - Questões

Dizem que o autor do poema seguinte não foi outro senão o próprio geômetra Euclides da Alexandria – nascido por volta do ano $330$ a.C. –, o que prova que também os grandes matemáticos se dedicam, ocasionalmente, a pequenos problemas, sem baixar a sua dignidade.

Asno e mulo vinham pela estrada carregados de sacos. Sob o peso dos fardos, o asno gemia e resmungava, inconformado. Aquele o notou, e assim falou ao apoquentado companheiro: “Dize-me, velhinho, que choras e lamentas qual inocente rapariga, O dobro do que tu levas carregaria eu, se me desses um volume; Se me tomasses um, ah!, então sim, conduziríamos ambos a mesma carga.” Tu, geômetra perito, dize-me quantos fardos transportavam?

Fonte: A Magia dos Números; Paul Karlson - Coleção Tapete Mágico XXXI – Editora Globo, RJ – 1961

Com base nas informações dadas pelo mulo, é correto afirmar que, o produto das quantidades de sacos que cada um carregava é um número

Dispõe-se de $N$ tubos cilíndricos, todos iguais entre si, cada qual com diâmetro interno de $4 \ cm$. Se esses tubos transportam a mesma quantidade de água que um único tubo cilíndrico, cujo diâmetro interno mede $12 \ cm$ e cujo comprimento é igual ao dobro do comprimento dos primeiros, então:

Seja o triângulo equilátero $T_1$ cujo lado mede $x \ cm$.

Unindo-se os pontos médios dos lados de $T_1$ , obtém-se um novo triângulo equilátero $T_2$ ; unindo-se os pontos médios dos lados do triângulo $T_2$ , obtém-se um novo triângulo equilátero $T_3$ ; e, assim, sucessivamente. Nessas condições, se a área do triângulo $T_9$ é igual a $\dfrac{25\sqrt{3}}{64} \ cm^2$, então $x$ é igual a:

Seja o par ordenado $(a, b)$, em que $a$ e $b$ são números inteiros positivos, uma solução da equação mostrada na tira acima. Em quantas das soluções, a soma $a + b$ é um número primo compreendido entre $15$ e $30$?

Se $n$ é um número inteiro positivo, chama-se indicador de $n$ o número de elementos do conjunto

$$\phi(n) = \{x\ |\ 1 \leq x \leq n\ e\ \ \text{MDC}\ (x,n) = 1\}$$

Com base nessa definição, é correto afirmar que o indicador do número $24$ é igual a: